Pdf Pembelajaran Bahasa Arab Smp

Adegan dari serial artikel mengenai
Ilmu Pesiaran
Protokoler Logika Ilmu hitung Logika matematika Statistika matematika Mantra komputer teoretis Teori permainan Teori keputusan Ilmu aktuaria Teori embaran Teori sistem
Fisikal Fisika Fisika klasik Fisika beradab Fisika terapan Fisika komputasi Fisika atom Fisika nuklir Fisika molekul Fisika eksperimen Fisika teori Fisika benda terkondensasi Mekanika Mekanika klasik Mekanika kuantum Mekanika kontinuum Rheologi Mekanika benda padat Mekanika fluida Fisika plasma Termodinamika Relativitas masyarakat Relativitas khusus Teori dawai Teori medan kuantum Kimia Reaksi senderut basa Alkimia Kimia analitik Astrokimia Biokimia Kristalografi Kimia mileu Kimia pangan Geokimia Kimia bau kencur Kimia anorganik Ilmu sasaran Fisika molekuler Kimia nuklir Ilmu pisah organik Fotokimia Ilmu pisah awak Radiokimia Kimia benda padat Stereokimia Kimia supramolekul Hobatan permukaan Kimia teori Ilmu falak Astrofisika Kosmologi Astronomi galaksi Geologi planet Ilmu keplanetan Astronomi bintang Astronomi radio Instrumentasi ilmu falak Astrobiologi Astrogeologi Astrometri Arkeoastronomi Astroarkeologi Geologi Meteorologi Klimatologi Ekologi Mantra mileu Geodesi Geologi Geomorfologi Geofisika Glasiologi Hidrologi Limnologi Oseanografi Paleoklimatologi Paleoekologi Palinologi Pedologi Edafologi Ilmu permukaan bumi fisik Ilmu luar angkasa
Vitalitas Ilmu hayat Ilmu urai Astrobiologi Biofisika Biogeografi Biokimia Biologi evolusioner Ilmu hayat bahari Ilmu hayat konservasi Biologi molekuler Ilmu hayat jalan Biologi sel Biologi petak Biopsikologi Bioteknologi Ilmu tumbuh-tumbuhan Ekologi Etnobiologi Etologi Fisiologi Genetika Gerontologi Imunologi Kriobiologi Limnologi Mikrobiologi Ilmu syaraf Paleontologi Parasitologi Radiobiologi Sistematika Sosiobiologi Teknik biologis Toksikologi Zoologi
Sosial Antropologi Arkeologi Kriminologi Demografi Ekonomi Pendidikan Geografi manusia Hubungan internasional Syariat Ilmu bahasa Guna-guna politik Ilmu jiwa Sosiologi
Terapan Teknik dan rekayasa Biomedis Dirgantara Genetika Ilmu komputer Industri Kimia Komputer Listrik Mesin Militer Nuklir Perangkat lunak Perlindungan kebakaran Pertambangan Pertanian Investigasi propaganda Robotika Sipil Website Ilmu kesegaran Epidemiologi Farmasi Medis Kedokteran gigi Kedokteran hewan Keperawatan Pekerjaan sosial Perawatan kebugaran Teknik biologis
Antardisiplin Fisika terapan Kecerdasan artifisial Bioetika Bioinformatika Teknik biomedis Biostatistika Hobatan kognitif Sistem mania Ilmu bahasa komputasi Studi budaya Sibernetika Ilmu lingkungan Ilmu sosial mileu Studi lingkungan Penelitian etnik Psikologi evolusioner Kehutanan Kesehatan Aji-aji perpustakaan Biologi matematika dan teori Fisika matematika Ilmu militer Aji-aji jaringan Teknik syaraf Aji-aji syaraf Kajian ilmu Hobatan, teknologi, dan awam Permodelan ilmiah Semiotika Sosiobiologi Statistika Ilmu sistem Transdisciplinarity Perencanaan kota Ilmu web
Filosofi Sejarah Penelitian tahir Guna-guna masyarakat Fringe science Sejarah guna-guna Filosofi ilmu Protosains Pseudosains Otonomi akademik Sains (Politik Pendanaan Metode) Sosiologi Teknosains
Bab Kategori
l b s

Matematika
Murni Fondasi Analisis Aljabar Teori bilangan Kombinatorik Geometri Topologi Terapan Kemungkinan Statistika Komputasi Fisika matematika Riset operasi Optimisasi Biologi komputasi Linguistik komputasi
Artikel
0–9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S Falak U V W X Y Z
Matematikawan
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Navigasi
Daftar Garis besar Portal Parasan
l b s

Matematika
^[b]
(dari bahasa Yunani Kuno


μάθημα

(
máthēma
), berarti “pengetahuan, pemikiran, penyelidikan, pendedahan”), adalah latar ilmu, nan mencaplok studi akan halnya topik-topik seperti bilangan (aritmetika dan teori bilangan),^[1]
rumus dan struktur terkait (aljabar),^[2]
bangun dan ruang tempat mereka berada (geometri),^[1]
dan besaran serta perubahannya (kalkulus dan analisis).^[3]
[4]
[5]
Tidak ada lega hati awam akan halnya ira spektrum yang tepat atau status epistemologisnya.^[6]
[7]

Ilmu hitung selalu berkembang, misalnya di Tiongkok pada waktu 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan hijau matematika berinteraksi dengan reka cipta ilmiah baru nan berorientasi pada peningkatan nan cepat di dalam laju reka cipta matematika. Berlanjut sebatas kini,^[8]
matematika digunakan di seluruh dunia sebagai radas penting di plural bidang, termasuk ilmu tunggul, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial begitu juga ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika nan melingkupi penerapan pengetahuan ilmu hitung ke satah-permukaan lain, mengilhami dan membuat pendayagunaan temuan-temuan matematika plonco, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan kepatuhan-disiplin mantra yang sepenuhnya yunior, seperti mana statistika dan teori permainan.

Matematika banyak digunakan intern mantra keterangan kerjakan fenomena pemodelan. Hal ini memungkinkan ekstraksi perkiraan kuantitatif semenjak hukum-syariat percobaan. Misalnya, rayapan satelit dapat diprediksi dengan akurasi pangkat menunggangi hukum gaya tarik bumi Newton nan dipadukan dengan perhitungan matematis. Ketakbergantungan keabsahan matematis bermula percobaan manapun menyiratkan bahwa keakuratan perkiraan semacam itu hanya bergantung plong kecukupan sempurna cak bagi menggambarkan kenyataan. Jadi, ketika munculnya beberapa perhitungan yang tak tepat, itu berarti bahwa sempurna harus diperbaiki atau diubah, bukan berarti matematika pelecok. Misalnya, presesi apsis ataupun perihelium Utarid tidak boleh dijelaskan dengan hukum gravitasi Newton, saja dijelaskan secara akurat oleh relativitas awam Einstein. Pengesahan percobaan teori Einstein ini menunjukkan bahwa syariat gravitasi Newton hanyalah hampiran (nan masih dulu akurat intern kehidupan sehari-tahun).

Matematika tinggal penting di banyak bidang, tertulis aji-aji pan-ji-panji, rekayasa, kedokteran, keuangan, ilmu komputer jinjing, dan ilmu sosial. Beberapa bidang ilmu hitung, seperti statistika dan teori permainan, dikembangkan intern korelasi serentak dengan terapannya, dan cangap dikelompokkan dengan jenama ilmu hitung terapan. Bidang ilmu hitung lainnya dikembangkan secara independen semenjak aplikasi apapun (dan oleh karena itu disebut matematika murni), tetapi aplikasi praktis sering ditemukan kemudian.^[9]
[10]
Contoh yang tepat adalah ki aib faktorisasi prima, yang merujuk kepada Euklides, namun yang lain memiliki aplikasi praktis sebelum digunakan intern sistemkripto RSA (bagi keamanan jaringan komputer).

Etimologi

Kata “matematika” berasal dari
bahasa Yunani Kuno:

μάθημα


(máthēma), yang berharga “nan dipelajari,”^[11]
“apa yang seseorang cak hendak ketahui,” dengan demikian juga bermakna “penekanan” dan “mantra pesiaran”. Prolog lakukan “matematika” n kepunyaan arti nan kian menyempit dan bertambah teknis “studi matematika” bahkan di zaman Klasik.^[12]
Introduksi sifat-nya yakni
mathēmatikós
(μαθηματικός), berarti “berhubungan dengan penelaahan” maupun “sayang belajar,” nan selanjutnya penting “matematis”. Secara distingtif,
mathēmatikḗ tékhnē
(μαθηματικὴ τέχνη; bahasa Latin:

ars mathematica
) berarti “seni matematika”.

Demikian pula, pelecok satu dari dua aliran pemikiran terdepan dalam Pythagoreanisme dikenal ibarat the
mathēmatikoi
(μαθηματικοί)—yang sreg saat itu berarti “pembelajar” ketimbang “matematikawan” kerumahtanggaan pengertian modern.

Dalam bahasa Latin, dan kerumahtanggaan bahasa Inggris sampai sekitar tahun 1700, istilah
matematika
makin sering berarti “ramalan bintang” (alias kadang-kadang “astronomi”) daripada “matematika”; artinya secara perlahan-lahan berubah menjadi apa yang sebagai halnya dipahami sekarang ini sejak tahun 1500-an hingga 1800-an. Hal ini berakibat pada sejumlah penyulihan yang keliru. Misalnya, seruan peringatan pecah Santo Agustinus bahwa orang Masehi harus waspada terhadap
mathematici, yang berarti astrolog, terkadang salah diterjemahkan sebagai
kutukan matematikawan.^[13]

Gambar resmi rajin dipakai di internal bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Prancis bentuk biasa
les mathématiques
(dan jarang digunakan perumpamaan turunan bagan distingtif
la mathématique), merujuk lega bentuk legal bahasa Latin yang cenderung objektif
mathematica
(Cicero), berlandaskan bentuk sahih
τὰ μαθηματικά
(ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles (384–322 SM), yang terjemahan kasarnya penting “segala hal yang matematis”, meskipun dapat dipedulikan bahwa bahasa Inggris cuma meminjam kata sifat
mathematic(al)
dan diikuti bentuk alas kata benda
mathematics, setelah mengikuti pola
physics
dan
metaphysics, yang dipinjam dari bahasa Yunani.^[14]
Tetapi, di kerumahtanggaan bahasa Inggris, kata benda jamak
mathematics
berubah menjadi bentuk tunggal
mathematic
bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam interlokusi, matematika cerbak kali disingkat perumpamaan
math
di Amerika Utara dan
maths
di arena lain.^[15]

Sejarah

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu lebih banyak. Abstraksi purwa, yang juga berlaku pada banyak binatang,^[16]
adalah adapun bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah nan setimbang.

Selain mengetahui kaidah mencacah objek-objek
fisika, manusia prasejarah juga mengenali mandu mencacah besaran
abstrak, seperti mana hari — waktu, musim, tahun.^[17]
[18]
Aritmetika sumber akar (penjumlahan, pengurangan, pergandaan, dan penjatahan) mengimak secara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan maupun sistem tak bagi mencatatkan suratan, semisal sutra atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan suka-suka banyak dan bermacam-macam, bilangan termuat yang pertama diketahui ada di privat naskah peninggalan Mesir Historis di Imperium Pertengahan Mesir, Paisan Matematika Rhind.

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pencitraan, dan pola-pola penenunan dan pendaftaran masa dan tidak sangkut-paut berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menunggangi aritmetika, aljabar, dan ilmu ukur bagi penghitungan fiskal dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.^[19]
[20]
Pengkajian matematika nan sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara waktu 600 dan 300 SM.

Naskah ilmu hitung tertua berasal dari Mesopotamia dan Mesir, berangka tahun 2000-an sampai 1800-an SM. Banyak teks awal menyebutkan tripel Pythagoras, dengan demikian boleh disimpulkan bahwa teorema Pythagoras tampaknya menjadi konsep matematika yang paling kuno dan paling makruf sehabis aritmetika dasar dan geometri. Sejarah arkeologis menunjukkan bahwa matematika Babilonia-lah yang mula-mula menampilkan aritmetika dasar (perjumlahan, perkurangan, multiplikasi, dan perbagian). Orang Babilonia kembali memiliki sistem ponten-tempat dan menggunakan sistem angka seksagesimal yang masih digunakan sampai sekarang untuk sudut dan waktu.^[21]

Selama Zaman keemasan Islam, khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi terdahulu yang dibangun diatas landasan matematika Yunani: kebanyakan terbit pintasan ini termasuk kontribusi mulai sejak matematikawan Persia seperti mana Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Selama periode bertamadun tadinya, matematika tiba berkembang dengan pesat di Eropa Barat. Pengembangan kalkulus maka dari itu Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada abad ke-17 merevolusi matematika. Leonhard Euler adalah matematikawan paling kecil terkenal dpada abad ke-18, menghadiahkan banyak teorema dan penemuan. Bisa jadi matematikawan terkemuka abad ke-19 adalah matematikawan Jerman Carl Gauss, yang takhlik banyak kontribusi untuk bidang-bidang sama dengan aljabar, analisis, geometri diferensial, teori matriks, teori bilangan, dan statistik. Lega awal abad ke-20, Kurt Gödel mengubah ilmu hitung dengan menerbitkan teorema ketidaklengkapan, yang menunjukkan sebagian bahwa setiap sistem aksioma nan konsisten—jika cukup kuat untuk menayangkan aritmetika—akan berilmu proposisi moralistis yang tidak dapat dibuktikan.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terwalak interaksi signifikan antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, lega Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, “Banyaknya makalah dan buku nan dilibatkan di internal basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (waktu pertama beroperasinya MR) saat ini melebihi 1,9 miliun, dan melebihi 75 mili artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap masa. Sebagian ki akbar karya di samudera ini kebal teorema ilmu hitung bau kencur beserta bukti-buktinya.”^[22].^[14]

Definisi yang diajukan

Tidak ada kesepakatan umum mengenai definisi pasti atau epistemologi prestise ilmu hitung.^[6]
[7]
Banyak matematikawan profesional yang tidak tertarik pada definisi matematika, atau menganggapnya tidak boleh ditentukan.^[6]
Lebih lagi tidak ada kesepakatan tentang apakah matematika ialah seni atau sains.^[7]
Bilang individu hanya mengatakan, “Matematika adalah apa nan matematikawan kerjakan.”^[6]

Aristoteles mendefinisikan ilmu hitung sebagai “ilmu jumlah” dan definisi ini berlaku sebatas abad ke-18. Semata-mata, Aristoteles juga memperingatkan bahwa titik api sreg kuantitas saja tidak dapat membedakan matematika dari hobatan-ilmu sebagaimana fisika; menurutnya, nan menjadikan ilmu hitung spesifik adalah adanya proses abstraksi dan pengkajian jumlah sebagai rasam “yang dapat dipisahkan privat pemikiran” berpangkal contoh substansial.^[23]

Pada abad ke-19, ketika penelitian matematika semakin meningkat internal ketelitian dan berangkat mengomongkan topik-topik mujarad seperti teori grup dan geometri proyektif, nan lain memiliki perkariban yang jelas dengan kuantitas dan pengukuran, matematikawan dan teoretikus mulai mengajukan plural definisi baru.^[24]
Sampai hari ini, para ahli pikir terus menjawab soal-cak bertanya internal makulat matematika, seperti sifat tes ilmu hitung.^[25]

Wahyu, matematika kalis dan terapan, dan estetika

Matematika muncul bilamana dihadapinya keburukan-masalah yang berat yang mengikutsertakan kuantitas, struktur, ruang, maupun perlintasan. Mulanya masalah-ki aib itu dijumpai di dalam perbisnisan, pengukuran lahan, dan kemudian astronomi; waktu ini, semua hobatan makrifat menyampaikan masalah-kebobrokan yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu seorang. Misalnya, sendiri fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori benang kuningan masa masa ini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan catur gaya sumber akar alami, terus hanya mengilhami ilmu hitung baru.^[26]

Beberapa matematika doang bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan bikin memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi rajin mungkin matematika diilhami oleh bukti-bukti di suatu wilayah ternyata penting lagi di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep ilmu hitung. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika “paling murni” sering beralih menjadi memiliki terapan praktis yakni apa nan Eugene Wigner menyebutnya ” Kepentingan luar protokoler ilmu hitung sampai taraf tak masuk akal geladak dalam Mantra Pengetahuan Umbul-umbul membutuhkan penjelasan.”.^[27]

Seperti di sebagian lautan wilayah penajaman, letusan manifesto pada zaman ilmiah sudah membidik puas penajaman di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika sejati dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka belaka puas satu provinsi ini, dan kadang-kadang seleksian ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Sejumlah distrik matematika terapan mutakadim digabungkan dengan tradisi-tali peranti yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi ketaatan yang memiliki hak tersendiri, termaktub statistika, penekanan operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika berkali-kali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak ilmu hitung. Banyak matematikawan bercakap tentang
keayuan
ilmu hitung, estetika yang tersirat, dan kegagahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keanggunan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat lain-terhingga banyaknya kodrat prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di privat
A Mathematician’s Apology
kuak keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup bagi mendukung pengkajian matematika murni.^[28]

Para matematikawan pelalah bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős gegares berkutat pada sebangsa pengejaran akar tunjang berasal “Alkitab” di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.^[29]
[30]
Kepopularan ilmu hitung rekreasi yakni pertanda enggak bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang fertil memecahkan soal-cak bertanya matematika.

Penalaran akal sehat

Matematikawan berusaha keras untuk melebarkan hasil mereka dengan penalaran bersistem untuk menghindari kekeliruan menggunakan suatu “teorema”. Bukti yang keliru ini sering unjuk dari intuisi yang pelecok dan telah awam privat sejarah matematika. Untuk memungkinkan penalaran deduktif, beberapa asumsi pangkal wajib diakui secara tersurat sebagai aksioma. Secara tradisional aksioma ini dipilih atas pangkal pertimbangan akal fit, tetapi aksioma modern rata-rata mendedahkan panjar normal cak bagi gagasan terlambat, sebagai halnya objek dan relasi sederhana.

Keabsahan bukti ilmu hitung pada dasarnya adalah masalah kekakuan, dan kekakuan yang disalahpahami yaitu penyebab penting untuk beberapa kesesatan eksemplar masyarakat tentang matematika. Bahasa ilmu hitung lebih ketepatan dibandingkan percakapan sehari-hari terhadap kata-kata seperti
atau
dan
hanya. Alas kata-kata lain seperti
terbuka
dan
tanah lapang
diinvestasikan dengan makna plonco bikin konsep matematika tertentu. Kadang-kadang diperkenalkan istilah yang sama sekali baru (seperti
homeomorfisme). Vokabuler teknis ini tepat dan ringkas, sehingga memungkinkan untuk secara psikis memproses ide-ide yang mania. Matematikawan menyapa ketepatan bahasa dan ilmu mantik ini sebagai “kekakuan”.

Kekakuan yang diharapkan privat ilmu hitung mutakadim beraneka rupa dari waktu ke waktu: orang Yunani mengharapkan argumen yang terperinci, tapi di masa kemajuan Isaac Newton, metode yang digunakan kurang kaku. Masalah yang melekat dalam definisi nan digunakan oleh Newton menyebabkan kebangkitan kajian yang cermat dan bukti normal pada abad ke-19. Kemudian puas awal abad ke-20, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menerbitkan karya mereka,
Principia Mathematica, upaya lakukan menunjukkan bahwa semua konsep dan pernyataan ilmu hitung dapat didefinisikan, kemudian dibuktikan seluruhnya melampaui ilmu mantik simbolik. Ini adalah bagian dari program filosofis nan kian luas yang dikenal sebagai logisisme, yang melihat matematika terutama bak perpanjangan pecah ilmu mantik.

Biarpun matematika demikian ringkas, ekspresi pengecekan justru membutuhkan ratusan halaman. Munculnya bukti berbantuan komputer telah memungkinkan tataran bukti bakal bertambah berkembang. Bukti yang dibantu komputer mungkin salah takdirnya perangkat lunak pengecekan mempunyai kehilangan, dan sekiranya bukti itu terlalu tataran, elusif untuk diperiksa.^[c]
[31]
Di pihak lain, pembantu verifikasi membolehkan verifikasi estimasi nan tidak dapat diberikan maka itu bukti yang ditulistangan, dan memberikan kepastian kebenaran bukti panjang begitu juga yang suka-suka pada bukti setebal 255 halaman bikin Teorema Feit–Thompson.^[d]

Notasi simbolis

Sebagian besar notasi matematika yang digunakan sekarang tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.^[32]
Pada abad ke-18, Euler (1707–1783) berkewajiban atas banyak notasi yang digunakan saat ini.^[33]
Sebelum itu, argumen matematika biasanya ditulis dalam kata-introduksi, membatasi reka cipta matematika.^[34]

Selain bahasa khusus, matematika kontemporer banyak menunggangi notasi khusus. Huruf angka-tanda baca ini juga bersumbangsih puas ketelitian, baik dengan menyederhanakan ekspresi ide matematika maupun dengan memungkinkan operasi rutin nan menirukan aturan nan tegar. Notasi modern membuat ilmu hitung makin mudah bagi pekerja yang mahir, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang berpuaka. Terjadi kompresi nan amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika bertamadun memiliki tata kalimat nan kaku dan menyandikan informasi nan barangkali selit belit bila dituliskan menurut pendirian lain.

Bahasa ilmu hitung dapat sekali lagi terhibur sukar lakukan para pemula. Kata-kata seperti mana
atau
dan
hanya
n kepunyaan khasiat yang bertambah ketelitian daripada di kerumahtanggaan percakapan sehari-hari. Selain itu, alas kata-kata semisal
terbuka
dan
alun-alun
memberikan arti spesifik matematika. Jargon matematika tertulis istilah-istilah teknis semisal
homeomorfisma
dan
terintegralkan. Cuma ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi nan lebih dari sahaja interlokusi sehari-periode. Para matematikawan menyebut kecermatan bahasa dan akal sehat ini sebagai “ketat” atau “kaku” (rigor). Jadi, jikalau suatu pembukaan sudah dimaknai dengan makna tertentu, maka selanjutnya kata itu harus merujuk ke makna tadi. Tak dapat berubah makna. Itulah makna “pilih-pilih” ini di bahasa matematika.

Eksploitasi bahasa yang ketat secara mendasar yaitu sifat pembuktian matematika. Para matematikawan kepingin teorema mereka menirukan aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah “teorema” yang salah cabut, didasarkan pada praduga kemusykilan, di mana banyak contoh sangkut-paut muncul di n domestik rekaman subjek ini.^[35]
Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah selama hari: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, tetapi pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang terpatok lega definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya kajian saksama dan bukti protokoler pada abad ke-19. Sekarang, para matematikawan masih terus bertumbuk argumentasi mengenai bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah terik diperiksa, bukti-bukti itu boleh jadi saja tidak cukup kaku.^[36]
Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah “kebenaran nan menjadi bukti dengan sendirinya”, cuma konsep ini memicu persoalan.

Lega abad ke-19 berkembanglah sebuah aliran pemikiran yang dikenal sebagai formalisme. Kerjakan sendiri formalis, plong pokoknya ilmu hitung adalah adapun sistem sahih atas huruf angka-simbol yang didukung maka itu kebiasaan-aturan biasa bagi memadukannya. Berasal sudut pandang ini, aksioma-aksioma hanyalah rumus-rumus khas dalam sistem aksioma, diberikan tanpa diturunkan secara prosedural berusul atom-unsur lain kerumahtanggaan sistem. Contoh maksimal formalisme yaitu seruan David Hilbert puas awal abad ke-20, comar disebut acara Hilbert, kerjakan mengodekan semua matematika dengan kaidah ini.

Pada janjang konvensional, sebuah aksioma hanyalah seutas telegram lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus nan terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert lakukan menaruh semua matematika plong sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel saban sistem aksioma (yang memadai langgeng) memiliki rumus-rumus yang lain dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di n domestik matematika ialah bukan-bukan. Biar demikian, matematika sering dibayangkan (di internal konteks legal) tidak enggak kecuali teori antologi di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan maupun bukti matematika dapat dikemas ke intern rumus-rumus teori koleksi.

Kurt Gödel membuktikan tujuan ini pada dasarnya tidak bisa jadi dengan teorema ketidaklengkapannya, yang menunjukkan sistem legal apapun yang cukup kaya cak bagi menggambarkan, bahkan aritmetika terlambat enggak dapat menjamin kelengkapan atau konsistensinya sendiri. Meskipun demikian, konsep formalis terus mempengaruhi matematika secara habis-habisan, hingga-hingga pernyataan tersebut diharapkan boleh diekspresikan privat rumus-rumus teori himpunan.^[37]

Pengetahuan mujarad

Dalam praktiknya, matematikawan galibnya dikelompokkan dengan ilmuwan, dan matematika punya banyak kufu dengan hobatan fisika, terutama penalaran deduktif terbit asumsi. Matematikawan mengembangkan premis matematika, dikenali sebagai konjektur, menunggangi metode coba-coba dengan hati kecil kembali, serupa dengan apa yang dilakukan maka itu ilmuwan.^[38]
Matematika percobaan dan metode komputasi seperti simulasi juga makin berguna dalam matematika.

Saat ini, semua hobatan pengetahuan menghadapi masalah yang dipelajari maka itu matematikawan, dan sebaliknya, hasil berasal matematika belalah menimbulkan cak bertanya dan realisasi yunior dalam hobatan pengetahuan. Misalnya, fisikawan Richard Feynman memadukan penalaran matematika dan wawasan fisika kerjakan menemukan rumus integral lintasan dari mekanika kuantum. Di pihak enggak, teori benang besi yaitu kerangka kerja yang diusulkan untuk menunggalkan banyak fisika modern nan sudah mengilhami teknik dan hasil baru dalam matematika.^[39]

Matematikawan Jerman, Carl Friedrich Gauss, bahkan melangkah lebih lanjut dengan menyapa ilmu hitung “Sultan-nya Ilmu Pengetahuan”,^[40]
dan yang bertambah baru, Marcus du Sautoy menggambarkan matematika bak “faedah pendorong utama di bengot penemuan ilmiah”.^[41]
Sekadar, beberapa notulis mementingkan bahwa, dalam jalan utama, matematika berbeda bermula gagasan ilmu embaran bertamadun: matematika tidak bergantung pada Bukti empiris.^{[42]
[43]
[44]
[45]}

Ruang lingkup mualamat ilmu hitung sudah lalu merambat secara dramatis sejak peredaran ilmiah, dan seperti bidang kajian lainnya, peristiwa ini sudah lalu menjorokkan spesialisasi. Pada perian 2010, Klasifikasi Subjek Matematika terbaru berpangkal Umum Matematika Amerika mengakui ratusan subbidang, dengan klasifikasi lengkap mengaras 46 pelataran.^[46]
Kebanyakan, banyak konsep intern subbidang dapat ki ajek terisolasi mulai sejak simpang ilmu hitung lainnya tanpa takat tertentu; hasil dapat berfungsi terutama sebagai perancah kerjakan mendukung teorema dan teknik bukan, alias mereka mungkin tak memiliki persaudaraan yang jelas dengan apa pun di luar subbidang.

Matematika menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk berkembang, dan seiring musim, matematikawan sayang menemukan terapan nan mengejutkan alias keterkaitan antar konsep. Salah suatu paradigma yang sangat berpengaruh yakni acara Erlangen mulai sejak Felix Klein, yang membangun jalinan inovatif dan mendalam antara ilmu ukur dan aljabar. Ini pada gilirannya mengungkapkan kedua latar ke penyamarataan nan makin besar dan beranak subbidang yang adakalanya hijau.

Perbedaan rajin dibuat antara ilmu hitung terapan dan matematika yang sepenuhnya berorientasi sreg tanya dan konsep abstrak, dikenal bagaikan matematika murni. Sebagai halnya cabang ilmu hitung lainnya, batas ruang lingkupnya hancuran. Ide-ide nan awalnya berkembang dengan terapan tertentu intern pikiran sering diperumum kemudian, sehabis itu menyatu dengan persediaan umum konsep matematika. Beberapa bidang matematika terapan apalagi telah bergabung dengan bidang praktis kerjakan menjadi kesetiaan ilmu partikular, begitu juga statistika, investigasi manuver, dan ilmu komputer.

Mungkin yang makin mengejutkan yaitu momen ide mengalir ke arah tak, dan bahkan matematika “minimum ikhlas” mengarah pada perkiraan alias terapan yang tidak terselami. Misalnya, teori garis hidup menempati tempat buku dalam kriptografi modern, dan n domestik fisika, turunan dari kemiripan Maxwell mendahului bukti eksperimental gelombang radio dan kepantasan konstan kurat. Fisikawan Eugene Wigner menamakan fenomena ini sebagai “khasiat matematika yang tidak masuk akal”.^[10]

Hubungan luar halal antara matematika transendental dan realitas material mutakadim menyebabkan perdebatan filosofis sedikitnya sejak zaman Pythagoras. Filsuf bersejarah Dataran tinggi berpendapat ini mungkin karena realitas material mencerminkan objek abstrak yang hadir minus tercabut hari. Akibatnya, penglihatan bahwa “sasaran matematika terabstraksi dengan sendirinya” sering disebut sebagai Platonisme. Darurat sebagian osean matematikawan biasanya tidak menyibukkan diri dengan pertanyaan nan diajukan oleh Platonisme, sebagian matematikawan lainnya justru kian berpikiran filosofis n domestik bertindak dan dikenali sebagai Platonis, lebih-lebih pada tahun masa ini.^[47]

Daya kreasi dan sifat bawaan

Kebutuhan akan legalitas dan kekakuan bukan berfaedah matematika tidak memiliki ajang untuk kreativitas. Sebaliknya, sebagian ki akbar pegangan matematika di luar perhitungan hafalan membutuhkan pemisahan ki aib yang cerdas dan mengeksplorasi perspektif mentah secara instingtif.

Kecenderungan matematis seringkali tak hanya meluluk kreativitas, tetapi juga nilai estetika internal matematika, nan resmi digambarkan sebagai
keanggunan. Kualitas begitu juga kesederhanaan, kesimetrisan, kelengkapan, dan keumuman dahulu berharga dalam pembuktian dan teknik. G. H. Hardy dalam karyanya
A Mathematician’s Apology
menyatakan religiositas bahwa pertimbangan estetika ini, dengan sendirinya, cukup lakukan menyungguhkan amatan matematika murni. Dia juga mengidentifikasi patokan tak begitu juga signifikasi, tak tersangka, dan keniscayaan, yang bersumbangsih sreg estetika ilmu hitung.^[48]

Paul Erdős mengungkapkan panas hati ini secara lebih ironis dengan berbicara adapun “The Book”, yang dianggap sebagai koleksi ilahi berpangkal bukti-bukti yang paling indah. Terinspirasi oleh Erdős, himpunan argumen ilmu hitung yang sangat ringkas dan inspiratif sudah diterbitkan intern
Proofs from THE BOOK. Sejumlah kamil hasil yang sangat elegan adalah bukti Euklides bahwa terserah tak-hingga banyaknya ketentuan prima dan transformasi Fourier cepat untuk kajian harmonik.

Beberapa orang merasa bahwa penganggapan ilmu hitung laksana guna-guna siaran adalah berarti meremehkan seni dan sejarahnya dalam tujuh pengetahuan budaya tradisional.^[49]
Riuk satu cara perbedaan tesmak pandang ini terjadi ialah dalam perdebatan filosofis mengenai apakah hasil matematis
diciptakan
(sebagaimana intern seni) atau
ditemukan
(seperti mana dalam ilmu wara-wara).^[50]
Kemasyhuran matematika rekreasi adalah tanda tidak dari kesenangan nan ditemukan banyak manusia dalam tanggulang cak bertanya matematika.

Pada abad ke-20, matematikawan L. E. J. Brouwer malar-malar memprakarsai perspektif filsafat nan dikenal sebagai intuisionisme, yang mengenali matematika dengan proses kreatif tertentu dalam pikiran.^[51]
Intuisionisme puas gilirannya adalah suatu rasa dari sikap yang dikenal seumpama konstruksivisme, yang saja menganggap biasa suatu objek matematika sekiranya dapat langsung dibangun, tak hanya dijamin oleh logika secara tidak langsung. Hal ini menyebabkan para konstruktivis berkomitmen untuk menjorokkan hasil tertentu, terutama argumen sebagai halnya bukti eksistensial nan didasarkan plong
hukum nan memperlainkan posisi tengah.^[52]

Plong akhirnya, baik konstruktivisme ataupun intuisionisme tidak mengoper matematika klasik maupun meraih pembelajaran arus terdahulu. Namun, acara-program ini telah memotivasi perkembangan tertentu, seperti logika intuisionistik dan wawasan dasar lainnya, yang dihargai dalam haknya saban.^[52]

Matematika sebagai hobatan maklumat

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika seumpama “Ratunya Ilmu Proklamasi”.^[53]
Di dalam bahasa aslinya, Latin
Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman
Königin der Wissenschaften, alas kata yang bersesuaian dengan
ilmu pemberitaan
berarti (lapangan) takrif. Jelas, inipun arti salih di n domestik bahasa Inggris, dan tiada syak wasangka bahwa matematika di privat konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan nan mempersempit makna menjadi mantra pengetahuan
alam
adalah pada masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada mayapada fisika, maka ilmu hitung, atau sekurang-kurangnya ilmu hitung murni, bukanlah ilmu pengetahuan.

Albert Einstein menyatakan bahwa
“selama hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.“^[54]

Banyak filsuf yakin bahwa ilmu hitung bukan dapat dibuktikan maupun disangkal berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu keterangan per definisi Karl Popper.^[55]
Doang, di internal karya terdahulu waktu 1930-an mengenai logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak boleh direduksi menjadi akal sehat, dan Karl Popper menyarikan bahwa “sebagian besar teori ilmu hitung, sebagai halnya halnya fisika dan biologi, yakni hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dempang ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya yaitu konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru.”^[56]
Para bijak bestari lainnya, sebut sekadar Imre Lakatos, telah menerapkan satu varian pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa pelan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) yakni ilmu hitung dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa hobatan pengetahuan ialah
pengetahuan umum
dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.^[57]
Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak masuk akal dari bilang anggapan. Naluri dan percobaan juga berperan bermakna di intern perumusan konjektur-konjektur, baik itu di ilmu hitung, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, menghafal kepentingannya di dalam ilmu hitung, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menebal, baik itu di ilmu proklamasi, maupun di ilmu hitung, melemahkan objeksi nan mana matematika enggak memperalat metode ilmiah. Di internal bukunya yang diterbitkan pada 2002
A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa ilmu hitung komputasi pantas buat digali secara empirik sebagai tanah lapang ilmiah di dalam haknya/kebenarannya seorang.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk memanggil wilayah mereka ibarat mantra butir-butir sama saja dengan menurunkan kadar maslahat sebelah estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; nan lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap hobatan pengetahuan sama doang dengan mengaduk-mutar ain nan buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam mantra informasi dan kolusi mutakadim mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di n domestik perbincangan filsafat apakah matematika
diciptakan
(seperti di dalam seni) atau
ditemukan
(seperti di dalam ilmu pengetahuan). Yaitu wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen
Ilmu Siaran dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-pelan itu dipandang bersahabat tetapi mereka tidak seperti dua jihat keping komisi logam. Sreg tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, hanya dipisahkan pada panjang akhir. Ini ialah salah satu dari banyak perkara nan diperhatikan di dalam makulat matematika.

Pujian matematika lazimnya dipelihara kendati konsisten terpisah bersumber kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di internal matematika ialah Fields Medal (tanda jasa lapangan),^[58]
[59]
dimulakan pada 1936 dan masa ini diselenggarakan tiap catur tahunan. Pujian ini sering dianggap sekelas dengan Kasih Nobel ilmu takrif.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan sreg 1978, mengakuri hari performa, dan pujian internasional terdahulu lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas istimewa karya, dapat nyata pembaharuan, ataupun penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar tenar berisikan 23 masalah ternganga, yang disebut “masalah Hilbert”, dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang ki akbar di antara para matematikawan, dan paling kecil sedikit sembilan berpokok masalah-keburukan itu waktu ini terpecahkan.

Sebuah daftar baru berisi sapta masalah utama, berjudul “Masalah Milenium”, diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-ki aib Hilbert.

Parasan-rataan matematika

Ketaatan-loyalitas utama di dalam matematika purwa muncul karena kebutuhan akan ancangan di n domestik perdagangan, untuk memaklumi kombinasi antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa ilmu falak. Empat kebutuhan ini secara berangasan bisa dikaitkan dengan pembagian-pembagian bernafsu matematika ke n domestik pendalaman besaran, struktur, ruang, dan pertukaran (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, pula terdapat pengalokasian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala pendalaman dari jantung matematika ke lapangan-lapangan tak: ke ilmu mantik, ke teori himpunan (dasar), ke ilmu hitung empirik dari aneka macam guna-guna pengetahuan (matematika terapan), dan nan bertambah baru yakni ke eksplorasi kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, mula-mula takdir safi dan predestinasi bundar (“semua garis hidup”) dan operasi aritmetika di ira bilangan itu, nan dipersifatkan di kerumahtanggaan aritmetika. Kebiasaan-sifat yang lebih internal dari bilangan bundar dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular begitu juga Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua kelainan tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem predestinasi dikembangkan kian jauh, kadar bundar diakui andai himpunan babak dari suratan rasional (“bongkahan”). Sementara bilangan pecahan berada di dalam kodrat sungguhan, yang dipakai untuk menghidangkan besaran-besaran kontinu. Suratan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah permulaan semenjak jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuaternion dan oktonion. Manah terhadap ganjaran polos juga mengarah pada bilangan transfinit, nan memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Kewedanan lain pendalaman ini adalah matra, nan membidik puas qada dan qadar kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan alef, yang memungkinkan rasio bermakna adapun ukuran himpunan-himpunan osean ketakhinggaan.

$$ 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3\,\!}	$$ − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 {\displaystyle -2,-1,0,1,2\,\!}	$$ − 2 , 2 3 , 1.21 {\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!}	$$ − e , 2 , 3 , π {\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!}	$$ 2 , i , − 2 + 3 i , 2 e i 4 π 3 {\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!}
Bilangan tahir	Bilangan bulat	Bilangan rasional	Predestinasi benaran	Ganjaran obsesi

Ulas

Pengkajian ruang berpunca dengan geometri – khususnya, geometri Euklides. Trigonometri memadukan ruang dan kodrat, dan mencakupi Teorema Pythagoras yang terkenal. Penajaman modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini buat menyertakan geometri berdosis bertambah tinggi, geometri non-Euklides (yang berperan penting di dalam kenisbian umum) dan topologi. Jumlah dan ruang berperan berfaedah di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan ilmu ukur aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep pak serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terwalak penjelasan objek-objek ilmu ukur seumpama kompilasi penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ira, dan juga pendalaman grup topologi, nan memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai bikin mengkaji urat kayu, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya kelihatannya menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur Poincaré yang telah lama suka-suka dan teorema empat warna, yang hanya “berhasil” dibuktikan dengan komputer, dan belum wasilah dibuktikan makanya manusia secara manual.

Geometri	Trigonometri	Ilmu ukur diferensial	Topologi	Ilmu ukur fraktal

Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di privat guna-guna keterangan alam dan kalkulus sudah lalu berkembang bagaikan perabot yang mumbung-daya bagi menyelidikinya. Kebaikan-manfaat muncul di sini sebagai konsep terdahulu bakal menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian preskriptif akan halnya kadar real dan fungsi-fungsi berperubah real dikenal bak analisis riil, dengan analisis obsesi lapangan nan setara kerjakan ganjaran kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu komplikasi mendelongop yang minimal mendasar di kerumahtanggaan matematika, dilukiskan pecah amatan kompleks. Analisis fungsional menyatukan perhatian puas ruang fungsi (biasanya berukuran tidak-setakat). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak masalah secara alami mengarah plong kekeluargaan antara besaran dan lampias perubahannya, dan ini dikaji laksana persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamik; teori keruwetan (chaos
mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Kalkulus	Kalkulus vektor	Persamaan diferensial	Sistem dinamik	Teori chaos	Amatan kompleks

Struktur

Banyak objek ilmu hitung, semisal himpunan kadar dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Rasam-sifat struktural objek-incaran ini diselidiki di dalam penajaman grup, gelanggang, lapangan dan sistem teoretis lainnya, nan mereka sendiri adalah bulan-bulanan juga. Ini adalah lapangan aljabar teoretis. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor dan dikaji di dalam aljabar linear. Studi vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis harfiah akhirnya terkendali maka dari itu Teori Galois.

Dasar dan makulat

Untuk memperjelas asal-radiks matematika, latar logika ilmu hitung dan teori himpunan dikembangkan, pula teori kategori nan masih dikembangkan. Kata beraneka ragam “kegentingan dasar” mejelaskan pengejaran dasar preskriptif lakukan ilmu hitung yang mencekit tempat pada dasawarsa 1900-an setakat 1930-an.^[60]
Sejumlah ketaksetujuan tentang radiks-dasar matematika berlanjut setakat kini. Krisis bawah dipicu maka dari itu sejumlah simpang sengketa pada musim itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika ilmu hitung diperhatikan dengan meletakkan ilmu hitung pada sebuah rancangan kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil bagan kerja itu. Ilmu mantik matematika adalah kondominium bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) bertelur bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika asal, seandainya
kritik
(maksudnya semua teorema nan dapat dibuktikan adalah benar), maka
tak-contoh
(maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan
di kerumahtanggaan sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, kompilasi sembarang aksioma ketentuan eksemplar yang diberikan, sebuah pernyataan protokoler di dalam logika yaitu sebuah garis hidup sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengimak aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem biasa yang yaitu aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke internal teori rekursi, teori model, teori verifikasi terpukau dekat dengan ilmu komputer teoretis.

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama baku cak bagi lapangan matematika yang paling berharga di dalam guna-guna komputer teoretis. Ini melibatkan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional dan teori siaran. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model arketipe komputer, tertulis teoretis nan dikenal paling berdaya – Mesin turing.

Teori kekacauan merupakan penelitian traktabilitas oleh komputer; sejumlah masalah, meski secara teoretis tertangani oleh komputer jinjing, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan pangsa, tidak boleh terjamah secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan alat gentur komputer jinjing. Teori publikasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan puas media nan diberikan, oleh sebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Bagaikan tanah lapang yang relatif hijau, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah “Masalah P versus NP”, riuk satu Kebobrokan Milenium.^[61]

( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 ) ( 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}
Kombinatorika	Teori komputasi	Kriptografi	Teori graf

Ilmu hitung terapan

Ilmu hitung terapan berkenaan dengan eksploitasi radas matematika abstrak kelebihan memecahkan problem-masalah aktual di dalam ilmu pengetahuan, bisnis dan wilayah lainnya. Salah satu fragmen penting di n domestik ilmu hitung terapan yakni statistika, yang menggunakan teori kebolehjadian sebagai perabot dan membolehkan penjelasan, analisis dan peramalan gejala di mana prospek berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan tidak menganggap mereka koteng andai matematikawan, melainkan sebagai keramaian sindikat.)

Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk membereskan kelainan-masalah ilmu hitung secara efisien yang rata-rata sesak pesek buat produktivitas numerik sosok, kajian numerik menyertakan penyelidikan galat pembulatan atau sumber-sumur galat enggak di intern komputasi.

Matematika murni

Ilmu hitung polos merupakan cabang matematika yang digunakan lakukan pengembangan kaidah-cara matematika. Bahasan pada matematika murni tidak mempertimbangkan penerapan praktis matematika dalam sains. Keikhlasan matematika murni bertujuan lakukan mengatasi masalah-komplikasi yang timbul selama penerapan matematika murni dalam berbagai loyalitas ilmiah.^[62]

• 

Intern publik

Bahkan ketika sulit, matematika punya kemampuan asing lumrah untuk melintasi senggat-batas budaya dan perian periode. Sahaja, sebagai aktivitas manusia, praktik ilmu hitung juga memiliki sisi sosial, tercantum perhatian sebagai halnya pendidikan, karir, syahadat, dll.

Problem penghargaan dan hadiah

Penghargaan paling bergengsi privat matematika merupakan Medali Fields,^[63]
[64]
didirikan pada tahun 1936 dan diberikan setiap catur tahun (kecuali seputar Perang Marcapada II) kepada sebanyak empat orang.^[65]
[66]
Ini adalah ekivalen Hadiah Nobel bikin matematika.^[66]

Pujian bergengsi lainnya meliputi:

• Penghargaan Abel, dilembagakan pada periode 2002^[67]
  dan pertama dianugerahkan puas periode 2003^[68]
• Medali Chern untuk pencapaian seumur hidup,^[69]
  diperkenalkan lega tahun 2010^[70]
• Penghargaan Wolf dalam bidang ilmu hitung, juga bakal pencapaian segenerasi hidup,^[71]
  dilembagakan pada musim 1978^[72]

Daftar masyhur 23 pertanyaan mangap, disebut “Penyakit Hilbert”, disusun pada tahun 1900 maka itu matematikawan Jerman David Hilbert.^[73]
Daftar ini mendapat sambutan hebat di halangan matematikawan^[74], dan setidaknya 13 soal (tergantung cara memungkirkan) kini sudah lalu diselesaikan.^[73]
Daftar baru dari sapta tanya terdepan, berjudul “Kebobrokan Milenium”, diterbitkan pada hari 2000. Hanya satu berpangkal mereka, presumsi Riemann, melipatkan salah satu masalah Hilbert. Solusi cak bagi semua soal ini dijanjikan hidayah 1 juta euro.^[75]
Kini, hanya satu dari komplikasi ini yang telah diolah, yaitu konjektur Poincaré.^[76]

Lihat pula

Garitan

Referensi

Referensi

Pranala luar

Cari tahu mengenai Matematika pada proyek-kiriman Wikimedia lainnya:
	Definisi dan terjemahan berpokok Wiktionary
	Bentuk dan media dari Commons
	Berita dari Wikinews
	Kutipan dari Wikiquote
	Teks sumur berusul Wikisource
	Kunci dari Wikibuku