Gambar Media Pembelajaran Anak Sekolah Smp

Bagian dari serial kata sandang mengenai
Ilmu Keterangan
Jamak Logika Ilmu hitung Ilmu mantik matematika Statistika matematika Ilmu komputer transendental Teori permainan Teori keputusan Mantra aktuaria Teori manifesto Teori sistem
Fisikal Fisika Fisika klasik Fisika modern Fisika terapan Fisika komputasi Fisika atom Fisika nuklir Fisika zarah Fisika eksperimen Fisika teori Fisika benda terkondensasi Mekanika Mekanika klasik Mekanika kuantum Mekanika kontinuum Rheologi Mekanika benda padat Mekanika zat alir Fisika plasma Termodinamika Relativitas mahajana Kenisbian idiosinkratis Teori benang besi Teori medan kuantum Kimia Reaksi cemberut basa Alkimia Ilmu pisah analitik Astrokimia Biokimia Kristalografi Kimia lingkungan Kimia pangan Geokimia Kimia hijau Ilmu pisah anorganik Mantra mangsa Fisika molekuler Kimia nuklir Kimia organik Fotokimia Kimia fisik Radiokimia Kimia benda padat Stereokimia Kimia supramolekul Ilmu permukaan Ilmu pisah teori Astronomi Astrofisika Kosmologi Astronomi sistem solar Geologi planet Ilmu keplanetan Ilmu perbintangan tanda jasa Ilmu falak radio Instrumentasi astronomi Astrobiologi Astrogeologi Astrometri Arkeoastronomi Astroarkeologi Geologi Meteorologi Ilmu cuaca Ekologi Ilmu mileu Geodesi Geologi Geomorfologi Geofisika Glasiologi Hidrologi Limnologi Oseanografi Paleoklimatologi Paleoekologi Palinologi Pedologi Edafologi Geografi tubuh Ilmu luar angkasa
Kehidupan Biologi Ilmu tasyrih Astrobiologi Biofisika Biogeografi Biokimia Biologi evolusioner Biologi bahari Ilmu hayat proteksi Ilmu hayat molekuler Biologi kronologi Biologi hotel prodeo Ilmu hayat tanah Biopsikologi Bioteknologi Ilmu tumbuh-tumbuhan Ilmu lingkungan Etnobiologi Etologi Ilmu faal Genetika Gerontologi Imunologi Kriobiologi Limnologi Ilmu mikrob Hobatan syaraf Paleontologi Parasitologi Radiobiologi Sistematika Sosiobiologi Teknik biologis Toksikologi Ilmu hewan
Sosial Antropologi Ilmu purbakala Kriminologi Demografi Ekonomi Pendidikan Ilmu permukaan bumi manusia Pernah internasional Hukum Ilmu bahasa Ilmu ketatanegaraan Ilmu jiwa Sosiologi
Terapan Teknik dan rekayasa Biomedis Dirgantara Genetika Ilmu komputer Industri Ilmu pisah Komputer Listrik Mesin Militer Nuklir Alat panjang usus Perlindungan kebakaran Pertambangan Pertanian Riset gerakan Ilmu robot Sipil Website Guna-guna kesehatan Epidemiologi Farmasi Medis Kedokteran gigi Medis dabat Keperawatan Pekerjaan sosial Perawatan kebugaran Teknik biologis
Antardisiplin Fisika terapan Intelek imitasi Bioetika Bioinformatika Teknik biomedis Biostatistika Ilmu psikologis Sistem mania Linguistik komputasi Pengkhususan budaya Sibernetika Guna-guna lingkungan Ilmu sosial lingkungan Studi lingkungan Studi etnik Psikologi evolusioner Kehutanan Kebugaran Ilmu perpustakaan Biologi matematika dan teori Fisika matematika Ilmu militer Guna-guna jaringan Teknik syaraf Aji-aji syaraf Kajian ilmu Aji-aji, teknologi, dan awam Permodelan ilmiah Semiotika Sosiobiologi Statistika Ilmu sistem Transdisciplinarity Perencanaan kota Ilmu web
Filosofi Ki kenangan Eksplorasi lugu Ilmu masyarakat Fringe science Ki kenangan ilmu Filosofi ilmu Protosains Pseudosains Kemandirian akademik Sains (Kebijakan Pendanaan Metode) Sosiologi Teknosains
Portal Kategori
l b s

Matematika
(dari bahasa Yunani:
μαθημα
–
mathēma, “proklamasi, pemikiran,
pembelajaran”) atau sebelumnya disebut
ilmu hisab
adalah aji-aji yang mempelajari jumlah, struktur, ruang, dan perlintasan. Para matematikawan merangkai dan menggunakan bermacam rupa kamil,^[2]
[3]
kemudian menggunakannya untuk memformulasikan konjektur baru, dan membangun kebenaran melampaui metode deduksi nan eklektik diturunkan dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.^[4]

Terjadi perdebatan apakah mangsa-objek ilmu hitung seperti predestinasi dan bintik sudah ada di semesta, ataukah ditemukan dan diciptakan manusia. Investigasi logis mengenai bentuk, korespondensi, besaran, dan konsep-konsep nan berkaitan, matematika seringkali dikelompokkan ke kerumahtanggaan tiga rataan: aijabar, analisis, dan geometri. Meskipun demikian, bukan dapat dibuat penjatahan nan jelas karena silang-simpang ini telah bercampur baur. Lega dasarnya aijabar melibatkan bilangan dan pengabstrakannya. Amatan melibatkan kekontinuan dan limit, sedangkan geometri membahas bentuk dan konsep-konsep yang berkaitan; sains didasarkan atas postulat nan bisa menurunkan kesimpulan nan diperlukan dari asumsi tertentu.

Koteng matematikawan Benjamin Peirce menyebut ilmu hitung sebagai “aji-aji yang menggambarkan simpulan-simpulan bermanfaat”.^[5]
Walau ilmu hitung pada kenyataannya sangat bermakna bagi kehidupan, perkembangan sains dan teknologi, setakat upaya melestarikan alam, matematika kehidupan di liwa gagasan, bukan dalam realita atau kenyataan. Albert Einstein menyatakan dengan tepat bahwa “sepanjang syariat-syariat matematika merujuk kepada informasi, mereka tidaklah pasti, dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada pengumuman.”^[6]

Menurut Max Tegmark, makna dari “Matematika lain merujuk kepada permakluman” menganjurkan pesan bahwa gagasan matematika itu sempurna dan steril atau terhindar berbunga pengaruh manusia. Uniknya, kebebasannya dari kenyataan dan pengaruh manusia ini nantinya justru memungkinkan penyatuan pernyataan bahwa semesta ini adalah sebuah struktur ilmu hitung. Jika kita percaya bahwa realita di luar semesta ini haruslah adil bermula pengaruh manusia, maka semesta haruslah berstruktur ilmu hitung.

Melalui penggunaan penalaran logika dan pukul rata, ilmu hitung berkembang pecah pencacahan, perkiraan, pengukuran, dan penyelidikan sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis terlampiaskan dalam kegiatan manusia sejak adanya rekaman tercantum. Argumentasi matematika nan pilih-pilih pertama kali muncul didalam Ilmu hitung Yunani, terutama didalam karya Euklides,
Atom.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Tiongkok lega tahun 300 SM, di India lega periode 100 M, dan di Arab lega musim 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan invensi ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di intern laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.^[7]

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia andai alat penting di berbagai ragam satah, termasuk ilmu standard, teknik, medis/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan ilmu jiwa. Matematika terapan, silang matematika yang melingkupi penerapan keterangan matematika ke satah-bidang enggak, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang membidik sreg pengembangan disiplin-loyalitas ilmu yang seutuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Para matematikawan juga bergulat di dalam ilmu hitung murni, alias matematika kerjakan perkembangan matematika itu sendiri. Mereka berupaya menjawab soal-pertanyaan nan unjuk di internal pikirannya, walaupun belum diketahui penerapannya. Doang, kenyataannya banyak sekali gagasan matematika nan lampau tanwujud dan tadinya enggak diketahui relevansinya dengan nasib, mendadak ditemukan penerapannya. Pengembangan matematika (murni) dapat mendahului atau didahului kebutuhannya privat arwah. Penerapan praktis gagasan matematika yang menjadi permukaan munculnya matematika murni berkali-kali ditemukan kemudian.^[8]

Etimologi

Kata “ilmu hitung” berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti
investigasi,
pembelajaran,
guna-guna
yang pangsa lingkupnya menyempit, dan khasiat teknisnya menjadi “investigasi matematika”, tambahan pula demikian juga pada zaman kuno. Pembukaan sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós),
berkaitan dengan penyelidikan, atau
mendalam belajar, yang bertambah jauhnya penting
matematis. Secara khas,
μαθηματικὴ τέχνη
(mathēmatikḗ tékhnē), di internal bahasa Latin
ars mathematica, berguna
seni matematika.

Rang normal sering dipakai di dalam bahasa Inggris, sebagai halnya lagi di dalam bahasa Prancis
cak bimbingan mathématiques
(dan jarang digunakan sebagai cucu adam rancangan tersendiri
la mathématique), merujuk lega rangka jamak bahasa Latin yang cenderung bebas
mathematica
(Cicero), beralaskan buram baku bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), nan dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti “segala apa hal nan matematis”.^[9]
Sekadar, di dalam bahasa Inggris, nomina
mathematics
mengambil bentuk partikular bila dipakai perumpamaan kata kerja. Di dalam ragam percakapan, ilmu hitung pelahap siapa disingkat bagaikan
math
di Amerika Utara dan
maths
di tempat lain.

Memori

Evolusi ilmu hitung boleh dipandang bagaikan sederetan abstraksi nan belalah bertambah banyak. Generalisasi permulaan, nan juga berperan lega banyak binatang^[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai cermin) memiliki besaran nan sepadan.

Selain mengetahui kaidah mencacah objek-objek
fisika, orang prasejarah pun mengenali cara suntik besaran
tanwujud, sebagai halnya musim — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (pembilangan, pengurangan, pergandaan, dan pembagian) mengajuk secara alami.

Langkah lebih lanjut memerlukan penulisan atau sistem lain cak bagi mencatatkan qada dan qadar, semisal benang atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem qada dan qadar ada banyak dan bermacam-macam, ketentuan tertulis yang pertama diketahui suka-suka di dalam skrip warisan Mesir Kuno di Kerajaan Pertengahan Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Penggunaan terkuno matematika adalah di kerumahtanggaan perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan acuan-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga perian 3000 SM ke paras saat orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri bikin enumerasi pajak dan urusan moneter lainnya, bangunan dan bangunan, dan astronomi.^[11]
Penekanan matematika yang sistematis di dalam kebenarannya seorang dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

Selama Masa gemilang Islam, khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi berfaedah yang dibangun diatas kalangan matematika Yunani: kebanyakan terbit terobosan ini tercantum kontribusi berpokok matematikawan Persia sebagai halnya Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Ilmu hitung sejak ketika itu lekas berkembang luas, dan terwalak interaksi bermakna antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sejauh sejarah dan berlanjut hingga sekarang. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, “Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di kerumahtanggaan basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (waktu mula-mula beroperasinya MR) saat ini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini mandraguna teorema matematika baru beserta bukti-buktinya.”^[12]

.^[9]

Wahyu, matematika bersih dan terapan, dan estetika

Matematika muncul lega saat dihadapinya masalah-komplikasi yang rumit yang melibatkan jumlah, struktur, urat kayu, atau perubahan. Semula kelainan-masalah itu dijumpai di intern bursa, pengukuran tanah, dan kemudian ilmu falak; kini, semua ilmu pengetahuan menyampaikan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang unjuk di dalam ilmu hitung itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus terstruktur lintasan mekanika kuantum menggunakan fusi nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori benang kuningan waktu waktu ini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat tendensi dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.^[13]

Beberapa matematika hanya bersesuaian di kerumahtanggaan wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan cak bagi mengamankan ki kesulitan lanjutan di wilayah itu. Tetapi buruk perut kali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat kembali di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan awam konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika “paling sejati” camar beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah segala apa yang Eugene Wigner menyebutnya ” Faedah luar biasa matematika sampai taraf tak ikut akal dalam Ilmu Kenyataan Alam membutuhkan penjelasan.”.^[14]

Seperti di sebagian samudra area investigasi, ledakan embaran plong zaman ilmiah telah mendatangi pada studi di dalam ilmu hitung. Satu perbedaan penting ialah di antara matematika murni dan ilmu hitung terapan: sebagian besar matematikawan menunggalkan penelitian mereka tetapi puas satu kawasan ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan acara sarjana mereka. Sejumlah wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-leluri yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi kesetiaan nan memiliki kepunyaan tersendiri, tertera statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika sering kali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak ilmu hitung. Banyak matematikawan berfirman tentang
keanggunan
matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kepolosan dan keumumannya dihargai. Terwalak keindahan di n domestik kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terjumlahkan banyaknya bilangan prima, dan di n domestik metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni konversi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam
A Mathematician’s Apology
menyingkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian ilmu hitung kudus.^[15]

Para matematikawan buruk perut bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara tunggal, pemburuan Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pengudakan akar tunggang berbunga “Bibel” di mana Tuhan mutakadim menuliskan bukti-bukti kesukaannya.^[16]
[17]
Kepopularan ilmu hitung rekreasi merupakan perlambang lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan tanya-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Sebagian ki akbar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.^[18]
Pada abad ke-18, Euler berkewajiban atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membentuk ilmu hitung lebih mudah bikin para profesional, tetapi para pemula gegares menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan nan amat sangat: sedikit lambang weduk siaran nan kaya. Seperti notasi nada, notasi ilmu hitung modern memiliki tata kalimat yang dogmatis dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa ilmu hitung dapat pun terkesan sukar bikin para pemula. Kata-pengenalan seperti
atau
dan
saja
memiliki arti yang lebih presisi daripada di kerumahtanggaan interlokusi sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal
terbuka
dan
lapangan
memberikan guna tersendiri matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal
homeomorfisma
dan
terintegralkan. Tetapi ada alasan cak bagi notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi nan makin dari sekadar konversasi sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai “eklektik” atau “kaku” (rigor). Jadi, sekiranya suatu kata mutakadim dimaknai dengan makna tertentu, maka selanjutnya kata itu harus merujuk ke makna tadi. Tidak bisa berubah makna. Itulah makna “ketat” ini di bahasa matematika.

Penggunaan bahasa yang hati-hati secara mendasar merupakan sifat pembuktian matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengajuk aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah “teorema” nan riuk ambil, didasarkan sreg praduga kegagalan, di mana banyak ideal sangkutan muncul di dalam sejarah subjek ini.^[19]
Tingkat kekakuan diharapkan di n domestik matematika selalu berubah-ubah sepanjang perian: bangsa Yunani mengasakan dalil yang terperinci, namun bilamana itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah normatif. Ki aib yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan menjurus kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu siapa saja tidak cukup kaku.^[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah “kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya”, tetapi konsep ini memicu persoalan. Lega strata lazim, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang semata-mata memiliki makna tersirat di n domestik konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah pamrih program Hilbert buat meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) mempunyai rumus-rumus nan tak dapat ditentukan; dan makanya karena itulah suatu aksiomatisasi keladak di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika caruk dibayangkan (di privat konteks formal) tak lain kecuali teori himpunan di bilang aksiomatisasi, dengan signifikansi bahwa tiap-tiap pernyataan maupun bukti ilmu hitung dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.^[21]

Matematika bak ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika andai “Ratunya Ilmu Informasi”.^[22]
Di dalam bahasa aslinya, Latin
Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman
Königin der Wissenschaften, introduksi nan bersesuaian dengan
aji-aji pemberitahuan
berharga (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun keefektifan asli di kerumahtanggaan bahasa Inggris, dan tiada kecurigaan bahwa ilmu hitung di internal konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Penajaman yang memperkuat makna menjadi hobatan pemberitaan
alam
yakni lega tahun terkemudian. Bila seseorang memandang aji-aji pengetahuan hanya adv minim pada dunia fisika, maka ilmu hitung, ataupun sekurang-kurangnya matematika ceria, bukanlah ilmu kabar.

Albert Einstein menyatakan bahwa
“sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada warta, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.“^[6]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidak dapat dibuktikan ataupun disangkal berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah aji-aji pengetahuan per definisi Karl Popper.^[23]
Doang, di dalam karya penting masa 1930-an tentang logika ilmu hitung menunjukkan bahwa matematika enggak dapat direduksi menjadi akal sehat, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa “sebagian besar teori matematika, sebagaimana halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke guna-guna pengetahuan alam yang asumsi-hipotesisnya adalah konjektur (postulat), bertambah daripada bak hal yang baru.”^[24]
Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-tanah lapang ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma nan ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan sempurna, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa hobatan pengetahuan merupakan
pengetahuan publik
dan dengan demikian matematika tertera di dalamnya.^[25]
Di beberapa kasus, matematika banyak silih berbagi dengan hobatan pengetahuan fisika, sebut cuma penggalian dampak-dampak konsekuen terbit beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan sekali lagi berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, ataupun di ilmu-guna-guna warta (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran nan semakin menguat, baik itu di mantra pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi nan mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di privat bukunya yang diterbitkan sreg 2002
A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas bakal digali secara empirik bagaikan lapangan ilmiah di internal haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini yaitu beraneka tipe. Banyak matematikawan merasa bahwa lakukan menyebut provinsi mereka sebagai ilmu pengetahuan sama hanya dengan meletakkan kadar keistimewaan sisi estetikanya, dan sejarahnya di privat sapta seni liberal tradisional; nan lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu publikasi sama sahaja dengan mengarau-mutar netra yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara ilmu hitung dan penerapannya di kerumahtanggaan ilmu pengetahuan dan perkomplotan telah mengemudikan banyak peluasan di internal matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan ki perspektif pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika
diciptakan
(begitu juga di dalam seni) atau
ditemukan
(sama dengan di dalam guna-guna pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke intern penggalan-bagian nan menyertakan departemen
Hobatan Pengetahuan dan Ilmu hitung, ini menunjukkan bahwa lapangan-pelan itu dipandang bersekutu sekadar mereka enggak seperti dua sisi keping uang besi. Sreg tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para sarjana pada tinggi garang, tetapi dipisahkan plong tingkatan akhir. Ini adalah keseleo satu semenjak banyak perkara yang diperhatikan di dalam makulat matematika.

Apresiasi matematika umumnya dipelihara cak agar taat terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu laporan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika yakni Fields Medal (medali pelan),^[26]
[27]
dimulakan plong 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghormatan ini sering dianggap sebanding dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, menerima masa manifestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Belas kasih Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan cak bagi ruas khusus karya, dapat berupa penyempuraan, alias penyelesaian ki aib yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 ki aib terbuka, yang disebut “masalah Hilbert”, dihimpun puas 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan mulai sejak ki aib-masalah itu saat ini terlewati.

Sebuah daftar yunior berisi tujuh masalah terdahulu, berjudul “Masalah Milenium”, diterbitkan puas 2000. Pemecahan saban masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan belaka satu (dugaan Riemann) yang mengalami penggandaan di internal masalah-ki aib Hilbert.

Latar-latar matematika

Disiplin-disiplin utama di kerumahtanggaan matematika pertama muncul karena kebutuhan akan anggaran di dalam perdagangan, untuk mencerna kekeluargaan antarbilangan, bagi mengukur kapling, dan cak bagi meramal peristiwa ilmu falak. Catur kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pencatuan kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ira, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan amatan). Selain sendi bahasan itu, juga terdapat pencatuan-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penekanan mulai sejak dalaman matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori kumpulan (dasar), ke matematika empirik bermula warna-warni ilmu siaran (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Penajaman besaran dimulakan dengan bilangan, purwa takdir asli dan bilangan bulat (“semua bilangan”) dan operasi aritmetika di ira bilangan itu, nan dipersifatkan di dalam aritmetika. Kebiasaan-resan yang lebih n domestik dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, berpunca mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori kodrat juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari suratan rasional (“pecahan”). Sementara suratan pecahan bernas di kerumahtanggaan bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran per-sisten. Garis hidup sungguhan diperumum menjadi ketentuan kompleks. Inilah persiapan pertama dari jenjang ganjaran nan beranjak mengikutsertakan kuaternion dan oktonion. Perasaan terhadap bilangan sejati juga mengarah puas bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Kewedanan lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: kadar alef, yang memungkinkan perimbangan bermakna mengenai dimensi kompilasi-himpunan besar ketakhinggaan.

$$ 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3\,\!}	$$ − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 {\displaystyle -2,-1,0,1,2\,\!}	$$ − 2 , 2 3 , 1.21 {\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!}	$$ − e , 2 , 3 , π {\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!}	$$ 2 , i , − 2 + 3 i , 2 e i 4 π 3 {\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!}
Predestinasi putih	Predestinasi bulat	Bilangan rasional	Suratan sungguhan	Kodrat kegandrungan

Ira

Investigasi ulas bermula dengan ilmu ukur – khususnya, geometri Euklides. Trigonometri memadukan ira dan bilangan, dan mencakupi Teorema Pythagoras yang tersohor. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini kerjakan menyertakan ilmu ukur berdimensi lebih tingkatan, ilmu ukur non-Euklides (yang berperan utama di kerumahtanggaan relativitas mahajana) dan topologi. Besaran dan ira dolan utama di dalam ilmu ukur analitik, geometri diferensial, dan ilmu ukur aljabar. Di intern geometri diferensial terletak konsep-konsep buntelan kawul dan kalkulus lipatan.

Di kerumahtanggaan geometri aljabar terdapat penjelasan bulan-bulanan-incaran ilmu ukur sebagai kumpulan penuntasan paralelisme polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai lakukan mengkaji ruang, struktur, dan transisi. Topologi di intern banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur Poincaré yang sudah lama terserah dan teorema empat dandan, yang sekadar “berbuntut” dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan maka dari itu manusia secara manual.

Geometri	Trigonometri	Ilmu ukur diferensial	Topologi	Ilmu ukur fraktal

Pertukaran

Memahami dan menguraikan perubahan ialah tema biasa di kerumahtanggaan ilmu pengetahuan umbul-umbul dan kalkulus telah berkembang ibarat alat nan penuh-daya bakal menyelidikinya. Faedah-kurnia unjuk di sini sebagai konsep utama kerjakan mengklarifikasi besaran yang berubah. Pengkajian dogmatis adapun bilangan real dan fungsi-fungsi berperubah sungguhan dikenal umpama analisis kasatmata, dengan kajian kompleks pelan yang ekuivalen lakukan bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling kecil mendasar di privat matematika, dilukiskan berbunga analisis kompleks. Amatan fungsional menunggalkan perhatian sreg ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Suatu berbunga banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak ki kesulitan secara alami cenderung pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam bisa dijelaskan menggunakan sistem dinamik; teori kekalutan (chaos
mempertepat berkelah di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Kalkulus	Kalkulus vektor	Persamaan diferensial	Sistem dinamik	Teori chaos	Analisis kegandrungan

Struktur

Banyak objek ilmu hitung, semisal himpunan kadar dan keefektifan, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural sasaran-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, bekas, pelan dan sistem abstrak lainnya, nan mereka koteng adalah objek sekali lagi. Ini adalah lapangan aljabar maya. Sebuah konsep penting di sini yaitu vektor, diperumum menjadi ruang vektor dan dikaji di privat aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga area pangkal matematika: jumlah, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah radiks keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah komplikasi kuno akan halnya Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori Galois.

Asal dan makulat

Untuk memperjelas bawah-sumber akar matematika, bidang logika ilmu hitung dan teori kompilasi dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Alas kata bermacam rupa “krisis bawah” mejelaskan pencarian asal preskriptif untuk ilmu hitung nan mencekit palagan lega dekade 1900-an setakat 1930-an.^[28]
Beberapa ketaksetujuan akan halnya dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis bawah dipicu oleh sejumlah pertikaian pada tahun itu, tercantum kontroversi teori antologi Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan memangkalkan matematika lega sebuah bagan kerja aksiomatis nan normatif, dan mengkaji hasil-hasil gambar kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, barangkali hasil yang paling dirayakan di dunia akal sehat, yang (secara informal) berbuntut bahwa satu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika
suara
(maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan ialah etis), maka
bukan-lengkap
(maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan
di dalam sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, pusparagam sembarang aksioma qada dan qadar teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di kerumahtanggaan logika yaitu sebuah bilangan zakiah-suatu fakta teoretik, cuma tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem lumrah yang merupakan aksiomatisasi kalis teori bilangan seutuhnya. Logika modern dibagi ke internal teori rekursi, teori model, teori pembuktian terbujuk hampir dengan ilmu komputer teoretis.

Matematika diskret

Matematika diskret adalah logo lazim buat lapangan matematika nan paling berguna di dalam hobatan komputer lengkap. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori keruwetan komputasional dan teori pengetahuan. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model model komputer, termaktub model yang dikenal paling berkekuatan – Mesin turing.

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, supaya secara teoretis terlewati oleh komputer, belaka layak mahal menurut konteks waktu dan ruang, tak boleh dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat persisten komputer. Teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan sreg media nan diberikan, maka dari itu sebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Seumpama lapangan nan relatif plonco, ilmu hitung diskret punya bilang masalah terbabang yang mendasar. Yang minimum terkenal adalah “Masalah Padanan NP”, salah satu Problem Milenium.^[29]

( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 ) ( 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}
Kombinatorika	Teori komputasi	Kriptografi	Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan pendayagunaan alat ilmu hitung abstrak guna memecahkan masalah-problem konkret di internal aji-aji pengetahuan, bisnis dan wilayah lainnya. Salah satu episode penting di dalam ilmu hitung terapan yakni statistika, yang memperalat teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis dan peramalan gejala di mana probabilitas berperan penting. Sebagian segara percobaan, survey dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan tidak menganggap mereka sendiri ibarat matematikawan, melainkan sebagai kerubungan maskapai.)

Amatan numerik memeriksa metode komputasional bagi memecahkan masalah-kelainan matematika secara efisien yang galibnya plus lebar bagi daya produksi numerik anak adam, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pembulatan atau perigi-perigi galat lain di kerumahtanggaan komputasi.

Ilmu hitung murni

Matematika nirmala merupakan cagak matematika yang digunakan bakal ekspansi prinsip-prinsip ilmu hitung. Bahasan pada matematika salih tidak mempertimbangkan penerapan praktis ilmu hitung dalam sains. Keberadaan matematika salih berujud bakal mengatasi masalah-ki kesulitan yang ketimbul selama penerapan matematika nirmala dalam bineka kesetiaan ilmiah.^[30]

• 

Lihat pula

Referensi

Pustaka

Pranala asing

Cari tahu mengenai Matematika sreg pesanan-antaran Wikimedia lainnya:
	Definisi dan terjemahan dari Wiktionary
	Rancangan dan ki alat dari Commons
	Berita berpokok Wikinews
	Kutipan bersumber Wikiquote
	Teks perigi dari Wikisource
	Buku dari Wikibuku