Cara Cepat Belajar Sel Hewan Smp

Matematika
(bersumber bahasa Yunani:
μαθημα

mathēma, “proklamasi, pemikiran,
penerimaan”) alias sebelumnya disebut
hobatan hisab
adalah ilmu yang mempelajari kuantitas, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan merangkai dan menggunakan plural pola,[2]
[3]
kemudian menggunakannya untuk menyusun konjektur plonco, dan membangun keabsahan melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]

Terjadi perdebatan apakah objek-objek matematika seperti mana bilangan dan noktah sudah ada di semesta, ataukah ditemukan dan diciptakan cucu adam. Riset rasional mengenai rajah, gayutan, total, dan konsep-konsep yang berkaitan, matematika seringkali dikelompokkan ke kerumahtanggaan tiga bidang: aijabar, amatan, dan geometri. Meskipun demikian, tak bisa dibuat pembagian yang jelas karena cabang-cabang ini telah bercampuran. Pada dasarnya aijabar melibatkan suratan dan pengabstrakannya. Kajian melibatkan kekontinuan dan limit, sedangkan geometri membicarakan bentuk dan konsep-konsep yang berkaitan; sains didasarkan atas presumsi yang bisa menurunkan kesimpulan yang diperlukan berasal asumsi tertentu.

Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai “aji-aji yang menggambarkan simpulan-simpulan utama”.[5]
Walau matematika pada kenyataannya silam bermanfaat bagi hidup, jalan sains dan teknologi, sampai upaya melestarikan alam, matematika hidup di kalimantang gagasan, bukan dalam realita atau kenyataan. Albert Einstein menyatakan dengan tepat bahwa “sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah karuan, dan sejauh mereka pasti, mereka enggak merujuk kepada kenyataan.”[6]

Menurut Max Tegmark, makna dari “Matematika bukan merujuk kepada pemberitaan” menyorongkan pesan bahwa gagasan ilmu hitung itu ideal dan steril atau terhindar bersumber pengaruh manusia. Uniknya, kebebasannya dari kenyataan dan dominasi basyar ini nantinya sampai-sampai memungkinkan penyimpulan pernyataan bahwa semesta ini yaitu sebuah struktur matematika. Jika kita percaya bahwa realita di luar semesta ini haruslah bebas bermula pengaruh manusia, maka sepenuh haruslah berstruktur matematika.

Melalui pemanfaatan penalaran akal sehat dan rampatan, ilmu hitung berkembang dari pembilangan, anggaran, pengukuran, dan penyelidikan sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis terkabul dalam kegiatan manusia sejak adanya memori teragendakan. Argumentasi ilmu hitung nan diskriminatif pertama mana tahu muncul didalam Matematika Yunani, terutama didalam karya Euklides,
Zarah.

Ilmu hitung sering berkembang, misalnya di Tiongkok lega tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada periode 800 M, setakat zaman Renaisans, saat temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah bau kencur nan mengarah pada pertambahan yang cepat di dalam laju penemuan ilmu hitung yang berlantas hingga kini.[7]

Kini, matematika digunakan di seluruh manjapada seumpama alat penting di berbagai rataan, termaktub aji-aji duaja, teknik, kedokteran/medis, dan mantra sosial seperti ekonomi, dan ilmu jiwa. Matematika terapan, cagak matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke permukaan-bidang bukan, mengilhami dan membentuk penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah plong pengembangan disiplin-disiplin aji-aji nan sesudah-sudahnya baru, seperti mana statistika dan teori permainan.

Para matematikawan juga berperang di privat ilmu hitung salih, alias matematika bagi perkembangan matematika itu koteng. Mereka berupaya menjawab pertanyaan-cak bertanya yang muncul di privat pikirannya, biarpun belum diketahui penerapannya. Namun, kenyataannya banyak sekali gagasan matematika yang sangat tanwujud dan tadinya tak diketahui relevansinya dengan hayat, mendadak ditemukan penerapannya. Pengembangan matematika (murni) boleh mengarak atau didahului kebutuhannya internal spirit. Penerapan praktis gagasan ilmu hitung yang menjadi latar munculnya matematika murni camar kali ditemukan kemudian.[8]

Etimologi

Kata “matematika” dari dari bahasa Yunani Historis μάθημα (máthēma), yang signifikan
eksplorasi,
pengajian pengkajian,
guna-guna
yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi “pengkajian matematika”, bahkan demikian juga pada dahulu kala. Kata sifatnya ialah μαθηματικός (mathēmatikós),
berkaitan dengan pengkajian, atau
khusyuk belajar, yang kian jauhnya berarti
matematis. Secara idiosinkratis,
μαθηματικὴ τέχνη
(mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin
ars mathematica, berarti
seni matematika.

Rangka lazim cak acap dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti sekali lagi di dalam bahasa Prancis
tutorial mathématiques
(dan berat digunakan sebagai cucu adam rajah individual
la mathématique), merujuk plong gambar jamak bahasa Latin nan cenderung bebas
mathematica
(Cicero), berdasarkan buram jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), nan dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti “segala hal yang matematis”.[9]
Saja, di intern bahasa Inggris, nomina
mathematics
mengambil buram tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam konversasi, ilmu hitung buruk perut boleh jadi disingkat andai
math
di Amerika Utara dan
maths
di medan tidak.

Album

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan ketentuan.

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan generalisasi yang selalu bertambah banyak. Abstraksi mula-mula, yang juga dolan plong banyak binatang[10], adalah adapun bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai teladan) memiliki jumlah yang sama.

Selain mengetahui kaidah ki mendoktrin korban-incaran
fisika, turunan prasejarah kembali mengenali kaidah suntik besaran
mujarad, seperti waktu — hari, periode, periode. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengkhitanan, pergandaan, dan penjatahan) mengikuti secara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain buat menyenaraikan garis hidup, semisal kenur atau telegram bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca bakal menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-spesies, bilangan termaktub yang pertama diketahui suka-suka di dalam skrip warisan Mesir Kuno di Kerajaan Pertengahan Mesir, Lembaran Ilmu hitung Rhind.

Penggunaan terkuno matematika yaitu di kerumahtanggaan perdagangan, pengukuran lahan, pencitraan, dan contoh-pola penenunan dan inventarisasi hari dan tidak persaudaraan berkembang luas sebatas perian 3000 SM ke paras ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno tiba menunggangi aritmetika, aljabar, dan geometri buat penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan ilmu perbintangan.[11]
Studi ilmu hitung yang sistematis di n domestik kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

Sepanjang Zaman keemasan Islam, khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi bermakna nan dibangun diatas landasan matematika Yunani: kebanyakan dari inovasi ini termasuk kontribusi berpangkal matematikawan Persia seperti Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Ilmu hitung sejak saat itu buru-buru berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara ilmu hitung dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Rakitan-rakitan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlantas setakat kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, “Banyaknya referat dan resep yang dilibatkan di privat basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun mula-mula beroperasinya MR) masa ini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke intern basis data itu tiap perian. Sebagian osean karya di samudera ini berisi teorema ilmu hitung baru beserta bukti-buktinya.”[12]

.[9]


Tanzil, ilmu hitung ikhlas dan terapan, dan estetika

Matematika muncul pada saat dihadapinya kebobrokan-ki aib yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, pangsa, atau persilihan. Sediakala masalah-komplikasi itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu siaran menganjurkan masalah-ki aib yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak problem yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus terstruktur lintasan mekanika kuantum menggunakan sintesis nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori kawat periode kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan catur gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika yunior.[13]

Bilang matematika hanya bersesuaian di privat kewedanan yang mengilhaminya, dan diterapkan buat memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Hanya berkali-kali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep ilmu hitung. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika “paling steril” sering beralih menjadi memiliki terapan praktis yaitu barang apa yang Eugene Wigner menyebutnya ” Kebaikan luar jamak ilmu hitung sampai taraf tak ikut akal dalam Hobatan Pengetahuan Alam membutuhkan penjelasan.”.[14]

Seperti di sebagian segara wilayah pengkhususan, salakan pengetahuan lega zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di kerumahtanggaan matematika. Satu perbedaan penting adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan terkadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program ilmuwan mereka. Bilang wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan pagar adat-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang mempunyai hak singularis, termaktub statistika, pengkhususan operasi, dan ilmu komputer.

Mereka nan berminat kepada ilmu hitung berkali-kali mendapati suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara mengenai
keayuan
matematika, estetika nan tersirat, dan keanggunan berpangkal dalamnya. Kepolosan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid ialah bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya ketentuan prima, dan di intern metode numerik yang anggun bahwa prediksi laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di n domestik
A Mathematician’s Apology
mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup lakukan mendukung pengkajian matematika murni.[15]

Para matematikawan kerap bekerja keras menemukan bukti teorema nan anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat lega seikhwan pemburuan akar tunjang dari “Alkitab” di mana Yang mahakuasa telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16]
[17]
Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat tak bahwa kegembiraan banyak dijumpai detik seseorang mampu mengendalikan cak bertanya-soal ilmu hitung.


Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Kelihatannya seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sejauh masa

Sebagian besar notasi ilmu hitung yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[18]
Sreg abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi nan digunakan ketika ini. Notasi beradab takhlik matematika lebih mudah kerjakan para profesional, semata-mata para pemula sering menemukannya ibarat sesuatu yang menakutkan. Terjadi pemadatan yang amat lalu: sedikit lambang berisi siaran yang berada. Seperti mana notasi musik, notasi matematika maju memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan amanat yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat sekali lagi terkesan pelik buat para pemula. Alas kata-pengenalan seperti
ataupun
dan
hanya
mempunyai kemujaraban yang lebih presisi daripada di dalam konversasi sehari-hari. Selain itu, alas kata-kata semisal
terbuka
dan
lapangan
memberikan kepentingan khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal
homeomorfisma
dan
terintegralkan. Belaka cak semau alasan untuk notasi unik dan jargon teknis ini: matematika memerlukan akurasi yang lebih berusul sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut kecermatan bahasa dan akal sehat ini sebagai “diskriminatif” maupun “kaku” (rigor). Makara, jika suatu kata mutakadim dimaknai dengan makna tertentu, maka selanjutnya introduksi itu harus merujuk ke makna tadi. Tak dapat berubah makna. Itulah makna “ketat” ini di bahasa matematika.

Pemanfaatan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan resan validasi matematika. Para matematikawan kepingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan tujuan penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah “teorema” yang riuk rebut, didasarkan puas praduga frustasi, di mana banyak contoh pernah muncul di n domestik sejarah subjek ini.[19]
Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika majuh berubah-ubah sejauh waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil nan terperinci, namun lega saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah nan tertuju pada definisi-definisi nan digunakan Newton akan menjurus kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus antuk argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin sekadar tidak memadai preskriptif.[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional yaitu “kesahihan yang menjadi bukti dengan sendirinya”, tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas telegram lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan bermula suatu sistem aksioma. Inilah maksud programa Hilbert untuk meletakkan semua ilmu hitung pada sebuah basis aksioma nan kokoh, sahaja menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang pas abadi) memiliki rumus-rumus yang enggak boleh ditentukan; dan maka itu karena itulah satu aksiomatisasi buncit di dalam matematika yakni mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) lain lain kecuali teori kumpulan di beberapa aksiomatisasi, dengan denotasi bahwa per pernyataan atau bukti ilmu hitung dapat dikemas ke privat rumus-rumus teori himpunan.[21]

Ilmu hitung sebagai ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai “pangerannya para matematikawan”, dan mengatakan matematika seumpama “Ratunya Guna-guna Pengetahuan”.

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai “Ratunya Ilmu Pengetahuan”.[22]
Di dalam bahasa aslinya, Latin
Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman
Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan
ilmu pengetahuan
berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti bersih di n domestik bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa ilmu hitung di dalam konteks ini yaitu sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi aji-aji kenyataan
standard
merupakan lega masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu manifesto tetapi rendah pada manjapada fisika, maka ilmu hitung, atau sedikitnya matematika tahir, bukanlah ilmu wara-wara.

Albert Einstein menyatakan bahwa
“sepanjang hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah tentu; dan selama mereka pasti, mereka lain merujuk kepada kenyataan.[6]

Banyak filsuf optimistis bahwa matematika tidak dapat dibuktikan alias disangkal berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[23]
Cuma, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa ilmu hitung tidak bisa direduksi menjadi ilmu mantik, dan Karl Popper mengijmalkan bahwa “sebagian raksasa teori matematika, sebagaimana halnya fisika dan ilmu hayat, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih karib ke mantra pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (presumsi), lebih tinimbang seumpama hal yang baru.”[24]
Para bijak bestari lainnya, ujar saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada ilmu hitung itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa alun-alun-tanah lapang ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan eksemplar, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah
pengetahuan awam
dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25]
Di sejumlah kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, tutur hanya riset dampak-dampak makul bersumber sejumlah anggapan. Hati kecil dan percobaan juga berperan terdahulu di kerumahtanggaan perumusan konjektur-konjektur, baik itu di ilmu hitung, maupun di ilmu-hobatan pengetahuan (lainnya).

Ilmu hitung percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam ilmu hitung, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran nan semakin menguat, baik itu di aji-aji pengetahuan, atau di matematika, melemahkan objeksi yang mana ilmu hitung enggak memperalat metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan sreg 2002
A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa ilmu hitung komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya koteng.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini yaitu berbagai ragam. Banyak matematikawan merasa bahwa bagi menyebut kewedanan mereka ibarat aji-aji manifesto sepadan sahaja dengan menurunkan takdir kebaikan jihat estetikanya, dan sejarahnya di kerumahtanggaan sapta seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pencuaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama hanya dengan mengebur-mutar indra penglihatan yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu informasi dan konspirasi telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini merupakan di dalam perbincangan filsafat apakah matematika
diciptakan
(seperti di n domestik seni) atau
ditemukan
(seperti di dalam aji-aji pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke internal bagian-bagian nan menyertakan kementerian
Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa alun-alun-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti mana dua sisi keping uang lelah logam. Pada tahapan praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan sedarun para ilmuwan pada tingkatan agresif, tetapi dipisahkan puas tangga penghabisan. Ini adalah salah satu bersumber banyak perkara yang diperhatikan di dalam makulat matematika.

Sanjungan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu informasi. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali pelan),[26]
[27]
dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap catur tahunan. Penghormatan ini cak acap dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu kenyataan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Kasih Abel, diperkenalkan lega 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas solo karya, dapat berupa pembaharuan, atau penuntasan problem nan terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah mangap, yang disebut “problem Hilbert”, dihimpun pada 1900 makanya matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan semenjak kebobrokan-ki aib itu kini terpecahkan.

Sebuah daftar mentah berisi tujuh problem terdepan, berjudul “Masalah Milenium”, diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan saja satu (hipotesis Riemann) nan mengalami penggandaan di dalam ki kesulitan-masalah Hilbert.

Parasan-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak purbakala.

Disiplin-kepatuhan utama di dalam matematika mula-mula muncul karena kebutuhan akan perkiraan di dalam penggalasan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa ilmu falak. Empat kebutuhan ini secara kasar bisa dikaitkan dengan pencatuan-pembagian berangasan matematika ke dalam eksplorasi kuantitas, struktur, urat kayu, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terwalak pembagian-pendistribusian nan dipersembahkan cak bagi pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-pelan lain: ke ilmu mantik, ke teori antologi (dasar), ke matematika empirik dari pernak-pernik ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru merupakan ke pengkajian dogmatis akan ketakpastian.

Total

Pengkajian jumlah dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan buntak (“semua ketentuan”) dan gerakan aritmetika di ira bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam bersumber bilangan bulat dikaji di kerumahtanggaan teori bilangan, berusul mana datangnya hasil-hasil popular sama dengan Teorema Terakhir Fermat. Teori garis hidup juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem takdir dikembangkan selanjutnya, suratan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional (“rekahan”). Sementara garis hidup rekahan berada di dalam predestinasi real, nan dipakai lakukan menyuguhkan besaran-besaran terus-menerus. Bilangan real diperumum menjadi ketentuan kompleks. Inilah langkah pertama dari hierarki predestinasi yang beranjak menyertakan kuaternion dan oktonion. Perhatian terhadap qada dan qadar asli pun mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep enumerasi ketakhinggaan. Negeri tak penggalian ini yakni dimensi, yang mengarah pada kadar kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan alef, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang matra himpunan-koleksi besar ketakhinggaan.





1
,
2
,
3




{\displaystyle 1,2,3\,\!}










2
,



1
,
0
,
1
,
2




{\displaystyle -2,-1,0,1,2\,\!}










2
,


2
3


,
1.21




{\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!}










e
,


2


,
3
,
π






{\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!}







2
,
i
,



2
+
3
i
,
2

e

i



4
π



3








{\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!}



Bilangan kudus Takdir buntak Bilangan membumi Bilangan real Ketentuan mania

Ruang

Pengkhususan ruang berasal dengan geometri – khususnya, geometri Euklides. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema Pythagoras yang populer. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini kerjakan menyertakan geometri berdimensi kian tinggi, geometri non-Euklides (yang berlaku terdepan di dalam kenisbian awam) dan topologi. Besaran dan ruang main-main penting di privat geometri analitik, geometri diferensial, dan ilmu ukur aljabar. Di dalam geometri diferensial terwalak konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terwalak penjelasan objek-objek geometri bagaikan kompilasi penyelesaian kemiripan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pendalaman grup topologi, nan memadukan struktur dan ruang. Grup lie formal dipakai buat mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya kali menjadi area pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan melibatkan konjektur Poincaré nan telah lama ada dan teorema empat corak, yang belaka “berhasil” dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg
Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Ilmu ukur fraktal

Perubahan

Mengetahui dan menjelaskan perubahan ialah tema lumrah di intern guna-guna pengetahuan alam dan kalkulus telah berkembang perumpamaan gawai yang penuh-anak kunci lakukan menyelidikinya. Fungsi-khasiat muncul di sini bak konsep penting untuk menjelaskan besaran nan berubah. Pengkajian kaku mengenai kodrat cak benar dan kekuatan-fungsi berperubah cak benar dikenal sebagai amatan konkret, dengan amatan mania tanah lapang yang setara cak bagi bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu kelainan membengang yang paling kecil mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Amatan fungsional menunggalkan perhatian puas ruang fungsi (biasanya berdimensi enggak-setakat). Satu bermula banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak penyakit secara alami menumpu pada perantaraan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam boleh dijelaskan memperalat sistem dinamik; teori kekacauan (chaos
mempertepat kronologi-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg Princ Argument C1.svg
Kalkulus Kalkulus vektor Pertepatan diferensial Sistem dinamik Teori chaos Analisis kompleks

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan kadar dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat sistemis sasaran-target ini diselidiki di privat pengkajian grup, gelanggang, tanah lapang dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah pelan aljabar maya. Sebuah konsep penting di sini yaitu vektor, diperumum menjadi ruang vektor dan dikaji di dalam aljabar linear. Penggalian vektor memadukan tiga kawasan pangkal matematika: total, struktur, dan ira. Kalkulus vektor memperluas pelan itu ke dalam wilayah dasar keempat, ialah perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah ki kesulitan bersejarah adapun Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya tertangani oleh Teori Galois.

Asal dan filsafat

Cak bagi memperjelas bawah-dasar ilmu hitung, bidang ilmu mantik matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Pembukaan majemuk “krisis bawah” mejelaskan pencarian pangkal kaku untuk matematika yang menjeput tempat pada sepuluh tahun 1900-an sampai 1930-an.[28]
Beberapa ketaksetujuan mengenai dasar-bawah matematika berlangsung hingga saat ini. Krisis asal dipicu oleh bilang pertikaian pada periode itu, tercatat kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan mengedrop ilmu hitung sreg sebuah rajah kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil lembaga kerja itu. Logika matematika merupakan rumah buat Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di bumi akal sehat, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem lumrah yang pintar aritmetika asal, seandainya
suara
(maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan merupakan ter-hormat), maka
tak-lengkap
(maksudnya terletak teorema bersih nan tidak dapat dibuktikan
di privat sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, himpunan sembarang aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan stereotip di dalam akal sehat merupakan sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi enggak mengikuti aksioma-aksioma itu. Maka itu karena itu, tiada sistem formal yang ialah aksiomatisasi nirmala teori predestinasi sepenuhnya. Logika modern dibagi ke privat teori rekursi, teori model, teori pembuktian terikut dempang dengan guna-guna komputer teoretis.

Matematika diskret

Matematika diskret yakni nama lazim untuk tanah lapang matematika yang paling bermanfaat di dalam aji-aji komputer model. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kekusutan komputasional dan teori informasi. Teori komputabilitas menanyai batasan-batasan berbagai transendental ideal komputer, tercatat model yang dikenal paling berdaya – Mesin turing.

Teori kompleksitas ialah pengkajian traktabilitas makanya komputer; beberapa problem, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, semata-mata layak mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat diselesaikan secara praktis, malah dengan cepatnya kemajuan peranti keras komputer. Teori pemberitahuan memusatkan ingatan pada banyaknya data yang dapat disimpan sreg sarana yang diberikan, maka itu sebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisal kompresi dan entropi.

Sebagai lapangan yang nisbi baru, matematika diskret punya bilang ki aib termengung yang mendasar. Yang minimal terkenal adalah “Ki aib Antitesis NP”, riuk satu Masalah Milenium.[29]









(
1
,
2
,
3
)


(
1
,
3
,
2
)




(
2
,
1
,
3
)


(
2
,
3
,
1
)




(
3
,
1
,
2
)


(
3
,
2
,
1
)






{\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}



DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika mujarad guna memecahkan kelainan-masalah substansial di dalam hobatan deklarasi, bisnis dan wilayah lainnya. Pelecok satu bagian terdahulu di privat matematika terapan merupakan statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, kajian dan peramalan gejala di mana prospek berperan bermanfaat. Sebagian besar percobaan, survey dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Hanya banyak statistikawan lain menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kerumunan sekutu.)

Amatan numerik memeriksa metode komputasional lakukan memecahkan komplikasi-komplikasi matematika secara efisien yang rata-rata terlalu lebar untuk kapasitas numerik orang, analisis numerik melibatkan penajaman galat pembulatan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Matematika murni

Matematika kudus adalah simpang matematika yang digunakan untuk pengembangan prinsip-prinsip matematika. Bahasan pada matematika ceria lain mempertimbangkan penerapan praktis matematika dalam sains. Kedatangan matematika suci bermaksud cak bagi memecahkan masalah-masalah yang timbul selama penerapan matematika murni dalam bermacam rupa disiplin ilmiah.[30]

Lihat pula

  • Abacus
  • Bahasa pemrograman
  • Daftar huruf angka ilmu hitung
  • Makulat matematika
  • Jangka dorong
  • Kompas
  • Matematika dan Ilmu Proklamasi Kalimantang
  • Ilmu hitung diskret
  • Matematika Islam
  • Matematika keuangan
  • Ilmu hitung kalis
  • Matematika rekreasi
  • Matematika terapan
  • Matematika Yunani
  • Matematikawan
  • Mesin hitung dan komputer jinjing
  • Komplet matematika
  • Penggaris
  • Pola
  • Software analisis statistik
    • Bestelan R
    • SPSS
    • SAS
  • Struktur ilmu hitung

Referensi


  1. ^

    Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud jasmani Euklides nan dibuat selama tahun hidupnya nan masih tarik urat sebagai kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal koteng seniman (lihat Euklides).

  2. ^

    Lynn Steen (29 April 1988).
    The Science of Patterns
    Science, 240: 611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum Development., ascd.org

  3. ^

    Keith Devlin,
    Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe
    (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5

  4. ^

    Jourdain.

  5. ^

    Peirce, p.97
  6. ^


    a




    b



    Einstein, p. 28. Kutipan ini ialah jawaban Einstein terhadap cak bertanya: “betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas bermula pengalaman, serupa itu asing protokoler bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?” Ia juga mencerca
    Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Guna-guna Permakluman Alam.

  7. ^

    Eves

  8. ^

    Peterson
  9. ^


    a




    b




    The Oxford Dictionary of English Etymology,
    Oxford English Dictionary

  10. ^

    S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain,
    Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.

  11. ^

    Kline 1990, Chapter 1.

  12. ^

    Sevryuk

  13. ^


    Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002).
    The Feynman Integral and Feynman’s Operational Calculus. Oxford University Press.





  14. ^

    Eugene Wigner, 1960, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Diarsipkan 2022-02-28 di Wayback Machine.”
    Komunikasi sreg Matematika Murni dan Terapan
    13(1): 1–14.

  15. ^


    Hardy, G. H. (1940).
    A Mathematician’s Apology. Cambridge University Press.





  16. ^


    Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008).
    Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA.





  17. ^


    Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001).
    Proofs from the Book. Springer.





  18. ^

    Eksploitasi Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak wacana yang lebih jauh)

  19. ^

    Lihatlah
    bukti ilegal
    bagi sempurna sederhana dari peristiwa-hal yang bisa salah di dalam bukti sahih. sejarah Teorema Catur Rona berisi contoh-sempurna bukti-bukti riuk nan sonder sengaja masin lidah maka dari itu para matematikawan lainnya bilamana itu.

  20. ^

    Ivars Peterson,
    Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 “Sedikit unek-unek akan ketidakmampuan acara komputer menginterogasi secara wajar,” (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).

  21. ^

    Patrick Suppes,
    Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, “Di antara banyak cabang matematika berbudaya, teori himpunan menduduki bekas yang individual: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di kerumahtanggaan matematika bisa dipandang perumpamaan himpunan unik atau kelas-kelas incaran tertentu.”

  22. ^

    Waltershausen

  23. ^


    Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998).
    Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm. 228.





  24. ^

    Popper 1995, p. 56

  25. ^

    Ziman

  26. ^

    Fields Medal kini disepakati paling kecil dikenal dan paling berpengaruh di internal ilmu hitung.” Monastyrsky

  27. ^

    Riehm

  28. ^

    Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin,
    A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.

  29. ^

    Clay Mathematics Institute Diarsipkan 2022-10-14 di Wayback Machine. P=NP

  30. ^


    Kartasasmita, dkk. (1993).
    Kamus Matematika: Matematika Dasar
    (PDF). Jakarta: Departemen Pendidikan dan Tamadun. hlm. 75. ISBN 979-459-017-7.




Pustaka

  • Benson, Donald C.,
    The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
  • Boyer, Carl B.,
    A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
  • Courant, R. and H. Robbins,
    What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
  • Davis, Philip J. and Hersh, Reuben,
    The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
  • Einstein, Albert (1923). “Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)”. P. Dutton., Co.


  • Eves, Howard,
    An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  • Gullberg, Jan,
    Mathematics — From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
  • Hazewinkel, Michiel (ed.),
    Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [1].
  • Jourdain, Philip E. B.,
    The Nature of Mathematics, in
    The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
  • Kline, Morris,
    Mathematical Thought from Ancient to Berbudaya Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
  • Monastyrsky, Michael. “Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal” (PDF). Canadian Mathematical Society. Diakses pada 28 Juli 2006.
  • Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
  • The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
  • Pappas, Theoni,
    The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
  • Peirce, Benjamin. “Linear Associative Algebra”.
    American Journal of Mathematics
    (Vol. 4, No. 1/4. (1881): 97–229.




    JSTOR.
  • Peterson, Ivars,
    Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
  • Paulos, John Allen (1996).
    A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X.



  • Popper, Karl R. (1995). “On knowledge”.
    In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.



  • Riehm, Carl (2002). “The Early History of the Fields Medal”
    (PDF).
    Notices of the AMS. AMS.
    49
    (7): 778–782.



  • Sevryuk, Mikhail B. (2006). “Book Reviews”
    (PDF).
    Bulletin of the American Mathematical Society.
    43
    (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Diakses tanggal
    2006-06-24
    .



  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965).
    Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ ASIN: B0000BN5SQ . ISBN 3-253-01702-8.



  • Ziman, J.M., F.R.S.. “Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science“.

Pranala asing

  • Preceptorial Himpunan materi dan soal matematika SD, SMP, SMA
  • Sejarah Ilmu hitung
  • Buku-muslihat matematika nonblok Kumpulan buku matematika netral.
  • Penerapan Aljabar SMA
  • Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia
    online
    pecah Springer, Karya teks pascasarjana dengan lebih dari 8.000 judul, mencerahkan intim 50.000 gagasan di dalam matematika.
  • Situs HyperMath di Georgia State University
  • Bibliotek FreeScience Diarsipkan 2022-05-12 di Wayback Machine. Bagian ilmu hitung dari taman bacaan FreeScience
  • Rusin, Dave:
    The Mathematical Denah. Panduan wisata melalui rupa-rupa matematika maju. (Pun dapat ditemukan di sini Diarsipkan 2006-10-06 di Wayback Machine..)
  • Polyanin, Andrei:
    EqWorld: The World of Mathematical Equations. Sebuah sendang
    online
    yang memusatkan perhatian lega fisika matematika, aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, terintegrasi, dan pertepatan-persamaan matematika lainnya.
  • Cain, George: Buku pustaka Ilmu hitung
    Online
    tersedia
    online
    secara nonblok.
  • Ilmu hitung dan Logika: Searah ilmu hitung legal, gagasan-gagasan logis, linguistik, dan metodologis. Di dalam
    Kamus Sejarah Gagasan.
  • Riwayat Umur Matematikawan. Sertifikat Memori Matematika MacTutor sejarah ekstensif dan kutipan semenjak matematikawan termasyhur.
  • Metamath. Sebuah situs dan sebuah bahasa, yang memformalkan matematika dari dasar-dasarnya.
  • Nrich, sebuah situs peraih hadiah untuk para siswa berusia sejak panca periode dari Universitas Cambridge
  • Ujana Masalah Terbuka, sebuah wiki dari masalah matematika terbuka
  • Planet Math. Sebuah ensiklopedia matematika
    online
    nan masih dibangun, memusatkan perasaan lega ilmu hitung modern. Menggunakan GFDL, memungkinkan pergantian artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman TeX.
  • Beberapa aplet matematika, di MIT
  • Weisstein, Eric et al.:
    MathWorld: World of Mathematics. Sebuah ensiklopedia
    online
    matematika.
  • Patrick Jones’ Tutorial Video tentang Ilmu hitung

Source: https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika